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1、如何理解和应用三角函数线32数学?题突破如何理解和应用三偏函数诙口孙东升三角函数线(正弦线,余弦线,正切线)的性质与三角函数的性质是并驾齐驱的两大解题法宝,这是数形结合思想的完美体现.但在实际学习中,同学往往亲后者而疏前者.本文旨在对单位圆中三角函数线的理解以及其解题功能作些探讨.曩麓线如图1,以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个圆叫做单位网(注意:这个单位长度不一定是l厘米或1米).当角理为第一象限角时,则其终边与单位圆J的终过一A一图1必有一个交点P(,Y),过点尸作,上轴于点,根据正余弦函数的定义,有IMPI=lyl=lsinal,IOMI=Ixl=Icos
2、a1.我们知道坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角0f的终边不在y轴上时,以0为始点,为终点,规定:当线段OM与轴正向同向时,OM的方向为正向,有向线段OM的数值是正值;当线段OM与轴正向反向时,OM的方向为负向,有向线段OM的数值是负值.并且为点勺横坐标.这样,无论哪种情况,都有OM=x=cosm.同理,当角d的终边不在轴上时,以为始点,P为终点.规定:当线段鹏ly轴正向同向时,MP的方向为正向,有向线段肘P的数值Y是正值.当线段肘P与谱曲正向反向时,肘尸f拘方向为负向,有向线段
3、)l的数值Y是负值.并且y为点P的纵坐标.这样,无论哪种情况都有MP=-y=sin~.再过点
4、A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于,,轴,设它与的终边交于点,根据正切函数的定义与相似=三角形的知识,借助有向线段OA,AT,我们有tan~=A.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,A盼别叫做角Ot的正弦线,余弦线,正切线,统称为三角函数线.当角终边在其他象限时,其三角函数线并不难画出(这里略).三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.由于三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清始点和终点,书写时顺序不能颠倒,记忆的规律如下:凡含原点的线段,均以原点为始点;不含原点的线段,均以此线段与坐标轴的公共点
5、为始点.—囊露解题1.求三角函数值凰椤41~cosa=,n(一l<,n<O),求tand的值,由条件知在第二Cy象限或第三象限.在单位圆中,画出相应的余弦线OM=m.可能的正弦线MP~MPI,如图2.当在第二象限时,tanc~=—sin—ct:—M—P:;当在第图2三象限时,tarter==MPI=一.C0SQ(,2.求角(解方程)l
6、例2已知sin(2叶詈)=1,求角的大小.夕熊令2+詈,Dlsi:1.在单位圆中,画出角口的正弦线ON={,过点Ⅳ(0,)作轴IV/7,图3阳半仃线,父早1互圆_r息P布u,则0P布uoPi即刀用口可能的终边,如图3.由网可知Z_xD
7、尸:,0PI:_,IT,从而角卢的取O0值集合是I2丌+詈或2
8、l}百+5'/1",keZ},也即角的取值集合为{12ct+~1T----2叶詈或2竹+,z】=了'IT,keZ).嘲正弦线也可以这样画:过角终边与单位圆的交点P(.,,)作PⅣ上),轴于/,,,则有向线段0Ⅳ=sinct.3.解不等式(求角的范围)-fi,13解不等如n2+詈1)>{.,鲰瞬仿上,令+,则si>1.如图3,在0单位圆中,要使正弦线0,v大于÷,则卢的终边应落在扇形POP,内(不含边OP,OP,),所以角卢满足2k.rr+,IT<2k霄詈,∈z,即角满足2订+詈<+詈<
9、叶詈,keZ,故所求解集为{l竹+詈,z).0LIJJ圃不等式sin2et+詈)≤的解集是什么?-例4求函数v二乏i+lg(1+ta眦)的定义域.函数的自变量应满足{:.'对于l一2sinx~>0,即sinx~<12,由图3可知应满足21r一—≤≤妣啊+詈∈zI对于1+tanx>O,即tanx>一1,过点N(0,一1)作轴的平行缘.与讨占A(1.0)的圆的切线交于点(1.一1),如图4,此时A—1.因为tanx>一l_贝0角的终边应在图中阴影部分的位置,即2一一,IT<2k1T+或2jc4242k-rr+~.k∈zI-日一j.Ⅳ71图4◇结合
10、图3和图4,可知该函数的定义域为f耵一詈<詈或2叶詈<2k耵+孚,z}.-例5已知角满足Ico鲫I>IsinI.求角~gZqt范围.熊如图5,作出单位圆.因为IcosOtI>IsinaI,所以lOMI>I肘.满足IOMI=IMPI的角在0到2盯之间有四个,为号,,,孚'故满足Ic.lsij7【Y旦4/4一,丁c,7x图5的角的终边在图中阴影部分(不包括边界),故k'tr-一,IT<a吐竹+.k∈Z.444.证明三角不等式-例6已知O<d(9,求证:
