三角函数线的应用

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1、三角函数·三角函数线及其应用·教案教学目标1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题．2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力．3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性．教学重点与难点三角函数线的作法与应用．教学过程设计一、复习师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是（教师板书）师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？生：由定义可知，sinα和cscα的符号

2、由y决定，所以当α是第一、二象限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符号由x决定，所以当α是第一、四象限角时，cosα＞0，secα＞0；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正；当x，y异号时，tanα，cotα为负．也就是说当α是第一、三象限角时，tanα＞0，cotα＞0；当α是第二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0．师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，

3、而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关．师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．二、新课师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？生：如果r=1，sinα的值就等于y了．师：那么对于余弦又该怎么处理呢？生：还是取r=1．师：如果r=1，那么P点在什么位置？生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的

4、圆．（板书）1．单位圆师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯

5、一一个正数．师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？生：是不是能用线段的长度来表示？师：说说你的理由．生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式．师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？生：线段的长度没有负数．生：我能不能这样

6、看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！生：可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？（板书）2．有向线段师：顾名思义，

7、有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．师：现在我们回到刚才的问题，角α与