奇数阶幻方的构造与特征值分析.pdf

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1、第36卷第1期Vo1．36No．12014文章编号：1007—6735(2014)01—0001—04奇数阶幻方的构造与特征值分析刘乐乐(上海理工大学理学院，上海200093)摘要：对奇数阶幻方的一种构造方法进行改造，利用循环矩阵和对称循环矩阵的性质对奇数阶幻方的特征值进行分析，同时给出了奇数阶幻方全部特征值的统一计算公式，并最终否定了一些学者关于幻方特征值的猜测．关键词：幻方；循环矩阵；对称循环矩阵；特征值中图分类号：0151．2文献标志码：AC0nstructionofOddOrderMagicSqua

2、resandItsEigenvalueAnalysisklUle(CollogeofScience，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093，China)Abstract：ThemethodforconstructingoddordermagicsquareswasreforflaedandtheeigenvaluesofoddordermagicsquareswereanalyzedbasedOnthepropertiesofci

3、rculant、matricesandsymmetriccirculantmatricesMeanwhile，theunifiedcalcul~ltionformulaweregivenout．Itisalsofoundthatsomeconjecturesabouttheeigenvaluesofmacsquaresaren0tcorrect．Keywords：mcsquare；circulantmatrix；symmetriccirculantmatrixeigenvalue角线之和均为同一个数8，这样

4、的矩阵称为幻方矩1问题的提出阵(或魔方矩阵)，简称为幻方，8为幻方值．显然，n阶幻方中所有整数的和为关于幻方的研究由来已久，中国古书《易经》中1+2+⋯+竹2=!记载的洛书是世界上最早的幻方．随后，幻方传人世按照幻方的定义即知2s=n(n+1)．界各地，引起了广泛关注，取得了许多成果．幻方不文献1-4]通过对幻方矩阵特征值的分析，给出了仅具备美感，还蕴含着许多奇特的奥秘，具体可参看一种构造奇数阶非奇异幻方的方法，但并未给出其文献[1—3]．随着计算机的快速发展，幻方广泛应用特征值的计算公式．文献[5]给出了

5、幻方的精彩应用于人工智能、图像处理、图论及对策论等方面．案例．文献[6]讨论了奇数阶幻方的一种构造方法．定义1对任意的正整数≥3，将1，2，⋯，n除此之外，幻方的构造方法还有很多，在文献[2]中填人n×n的矩阵中，使得矩阵的每行、每列及对有详细的介绍．文献r7]给出了利用线性空间理论来收稿日期：2013—01—18第一作者：刘乐乐(1988一)，男，硕士研究生．研究方向：半群理论．E-mail：ahhylau@163．corn2上海理工大学学报2014年第36卷构造幻方的方法．文献E83对奇数阶幻方特征值给

6、出位原根，相对应的特征向量为，∞，⋯，一，可解得了一个猜测：奇数阶幻方的特征值均为实特征值，除=(1，￡i，s扰，⋯，e一)，i=0，1，2，⋯，n一1最大特征值为幻方矩阵的幻方值外，其它特征值正定义3E。若n阶复矩阵B∈C具有形状负成对出现．0％1一％2一；1现对文献[7J中奇数阶幻方的一种构造方法进100—；2行改造，给出奇数阶幻方的一种代数表示方法．基于B=(2)；这种表示法，应用循环矩阵和对称循环矩阵的性质，2l03对奇数阶幻方特征值进行分析，最后给出奇数阶幻方全部特征值的统一计算公式．因此，发现文

7、献[8]则称B为n阶对称循环矩阵，记为B=sc(a0，1，中关于奇数阶幻方特征值的猜想是错误的．""；一～一一2341⋯，a一1)．称=sc(0，0，⋯，0，1，0)为基本对称循为了分析奇数阶幻方特征值的性质，需要以下环矩阵，即的概念与结论．一"‰”一"一-；-．00010定义21。]若阶复矩阵A∈C具有形状0000：：：：●●●●1000A=(1)00010、引理1[矩阵A，B由式(1)和(2)定义，则有则称A为佗阶循环矩阵，记为A=circ(。，al，⋯，表示；"一1n一1a一1)．称，r=circ(0

8、，1，0，⋯，0)为基本循环矩A=∑万，B=∑a一1盯阵，即；k=0k：012300100；2奇数阶=2m+1(m≥1)幻方的0000构造：：：：●●●●00；0l引理2中关于奇数阶幻方的构造方法引自文一一O一2131000献[7]．显然，万为正交一矩0阵，1则；必为正一规矩阵，从而万在引理2矩阵M=nA+B+H为n=复数域上可以对角化．因为，=E且≠E(其中，2m+1(m≥1)阶幻方，其中k(n为正整数，E为单