奇数阶幻方的杨辉方法

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1、奇数阶幻方的杨辉方法10/5/20216:41:46上午奇数阶幻方的杨辉方法从三阶幻方谈起。三阶幻方是指将1，2，3，…，8，9这九个数排列成一个3×3方阵，使三横行、三竖列和两条对角线上的三个数之和都相等。这个相等的和数就叫做三阶幻方的幻和。我们很容易求得这个幻和：。要排出一个三阶幻方，中心这个数是一个关键。这个数有四条线通过它，为此，我们把三数之和为的算式全部列出来：，，，，，，，。（一共八个式子，幻方的三行、三列和两条对角线也正好是八个，所以上列八个式子正好表示行、列和对角线上的组成情形。）这个数在上列八个式子中出现了四次，这表明中心数就是。中心这个数定好之后，再

2、确定四个角上的数，每个角上的数有三条线通过它，这四个数在上列八个式子中各出现了三次，由此我们可以确定四个角上的数就是这四个数。首先可以任意指定某一个角是，那么与构成对角线的另一端只能是；余下的两个角就是。中心和四角这五个数确定之后，余下的四个数不难计算求得。图1给出了三阶幻方的一个示例。关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。参见图2。如图2所示，它形象的表达了杨辉的方法。这个方法可以变通一下：“上下对易，左右相更”改为上、下、左、右的各个元素各向对方移动三格，这样不仅可以省去“四维挺进”，而且最后得到的方阵是

3、一个标准的方阵。参见图3。第7页（共7页）奇数阶幻方的杨辉方法10/5/20216:41:46上午杨辉的方法不仅可以构造三阶幻方，而且还可以构造任意奇数阶幻方。杨辉的方法：设为奇数。1．将排成一个斜的方阵；2．以为中心作一个方阵（格）；3．将位于这个方阵外的所有元素都向方阵内平移格，即得。取为例，参见图4，5：以下我们试着来研究奇数阶幻方的杨辉方法，这一次我们不画格子，而借用坐标格点来代替格子，我们仍然从三阶幻方开始。第一步：（九子）斜排在点处标记，在点处标记，在点处标记，这算第1段；在点处分别标记第7页（共7页）奇数阶幻方的杨辉方法10/5/20216:41:46上午

4、，这算第2段；在点处标记，这是第3段。如图6的左边所示。第二步：画正方形以点为顶点作一个正方形。我们看到这四个数在这个正方形外。第三步：把位于正方形外的四个数，都向正方形内平移个单位，就得到了三阶幻方。如图6所示。为了分析方便，我们引进如下的记法：第1段：我们记，即；第2段：记，即；第3段：记，即。这样我们建立了一个函数列，这个函数列又取决于两个等差数列：，公差；，。各个函数的定义域的第一个数也是一个公差为的等差数列。现在我们来验算：三横行：1．，2．，3．；三竖列：1．，2。第7页（共7页）奇数阶幻方的杨辉方法10/5/20216:41:46上午，3．；主对角线：；副

5、对角线：。我们看到，除主对角线外，每一个算式都归结为，可见数列诸项的和就是幻和。五阶幻方，这时数列是首项为，公差为的等差数列，而数列是首项为，公差为的等差数列。第一步：斜排第1段：令，即；第2段：令，即；第3段：令，即；第4段：令，即；第5段：令，即。第二步：画正方形以点为顶点作一个正方形，这个正方形外有12个数。第三步：把位于正方形外的每一个数，都向正方形内平移第7页（共7页）奇数阶幻方的杨辉方法10/5/20216:41:46上午个单位，就得到了五阶幻方。如图7所示。验算：五横行：1．；2．；3．；4．；5．。五竖列：1．；2．；第7页（共7页）奇数阶幻方的杨辉方法

6、10/5/20216:41:46上午3．；4．；5．。主对角线：。副对角线：。.我们再一次看到，除主对角线外，每一个算式都归结为。现在我们转向一般的讨论，但是为了直观，我们借用5阶幻方的“斜排”图来解释（参见图8）。设为奇数。首先我们注意到我们所定义的函数，可以解读为“横坐标加常数”，其中是等差数列的项，首项，公差为。借助图8，我们可以看到这样的事实：无论哪一行、列或副对角线上各数的和，都归结为，第7页（共7页）奇数阶幻方的杨辉方法10/5/20216:41:46上午因为这个和式中的“横坐标”都抵消了。利用等差数列的有关公式，容易求得，所以；至于主对角线上各数的和，所有

7、的横坐标抵消以后，则化为，因为，所以。以上的讨论，说明用杨辉的方法，的确可以构造任意奇数阶幻方。【附记】用来排幻方的个数不必是从开始的自然数列，只要是等差数列即可，公差也不必是。例如取这九个数，这是首项为，公差为的等差数列。用杨辉法可以排成如图9所示的三阶幻方。第7页（共7页）