热力学与统计物理课件 统计物理部分 第四章 系综理论.pdf

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1、第四章系综理论（EnsembleTheory）在此之前，我们所讨论的统计方法只能处理近独立系统，不能用于粒子间有相互作用的系统。近独立系统，其微观粒子可以被看成为彼此独立的、系统的能量等于每个微观粒子能量之和，U=Nε，粒子之间没有强的相互作用，每个粒子在μ相空间中为一个点，具有统计独立性。这种条件下推导出的分布定律适用于理想气体。当粒子之间有很强的相互作用时，粒子除具有独立的动能外。还有相互作用的势能，这样任何一个微观粒子状态发生变化，都会影响其它粒子的运动状态。这时某个粒子具有确定的能量和动量这句话的意义已经含糊不清，因为它随时间变化。结果是粒子不能从整个系统中分离出来。处理粒子间有

2、强相互作用这类问题，不能用分子(μ)相空间，而要用系统(Γ)相空间。直接从整个系统状态出发，用整个系统的广义坐标和广义动量所张开的空间来描述系统的状态，这个相空间称为Γ相空间。在某些条件下，μ相空间与Γ相空间的关系可以这样考虑：μ为子相空间。其中N个点对应Γ相空间的一个点；两者都表示一个运动状态，后者是前者的集合。§4.1系综理论的基本概念（TheFundamentalConceptofEnsembleTheory）一、系统相空间⎯⎯Γ空间μ空间：一个粒子的自由度r，μ空间小体积元为：dτ=dxdxLdxdPdPLdP12r12rdτw=rh当扩大到一个系统时，如三维空间中的N个粒子系统

3、dΓ=dxdydzLdxdydzdPdPdPLdPdPdP111NNNx1y1z1xNyNzNdτ自由度为Nr，w=NrhΓ空间：以描述系统状态的广义坐标和广义动量为轴构成的笛卡尔坐标空间。（此空间有2Nr个维数）系统在某一时刻的运动状态，可用Γ空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。二、两种统计平均（1）时间平均（2）系综平均比如在经典力学的范畴内，一个由N个粒子组成的，有相互作用的经典系统的自由度数目f=Nr，r为一个粒子的自由度，这样一个经典系统在任意时刻的运动状态可以由该时刻的f个广义坐标q1Lqf，以及与之共轭的广义动量P1LPf来描述。以q1Lqf，P1LPf构成的2f维

4、的空间就是上述提到的Γ空间。系统任意时刻的运动状态可以用Γ空间的一点来描述，这即是运动状态的代表点。当系统的运动状态随时间改变时，其代表点就在Γ空间中随时间变化从而划出一条轨道，这个轨道称为系统的相轨道。在经典力学中，系统的运动遵从经典的哈密顿正则方程：•∂H•−∂Hq=,Pi=(i=1,2,L,f)i∂P∂qii在给定初始条件下，哈密顿方程就确定了系统的相轨道。在运动过程中，系统的哈密顿量H(P,q)是一个守恒量。H(P,q)=E，代P表P1LPf，代q表q1Lqf，E为系统的总能量。这个方程在系统的Γ空间确定了一个2f−1维的曲面，称为相空间的能量曲面。如果能量守恒，则系统的相轨道始

5、终处于能量面上；若系统的能量在E→E+ΔE之间，则系统的相轨道处于E≤H(q,P)≤E+ΔE所确定的能壳内。系统的一个宏观量的测量一般会持续一段时间，如t

6、)很难求得，上述的式子只能停留在定义的层面，而不能进行真实的计算。但如果假设在足够长的时间内，系统的代表点将会在系统的能量曲面上的各个区域停留相同的时间，则我们可以定义系统的代表点在系统能量曲面上各点出现的几率密度ρ(q,P,t)代表在时刻t相空间中的点(q,P)附近的相体积元dqdP内系统代表点出现的几率，则B(t)=∫B(q,P,t)ρ(q,P,t)dΓ，对平衡态的孤立系统，与时间无关，则B=∫B(q,P)ρ(q,P)dΓ这与我们以前说的等几原理有点类似，等几原理是指对孤立系统，各个微观状态出现的机率相等。要注意当我们说系统的代表点在相空间中出现的几率时，我们实际上已经不是在考虑一个

7、宏观系统，而是在考虑大量的、具有同样宏观性质的系统的集合。以掷硬币来说（一个硬币相当于一个系统）一个硬币掷24000次~B(t)24000个硬币一次掷，在保证外部条件与一次掷时相同的情况下，结果应当是相当的。ρ如果可求得24000个硬币的分布情况i则有：B=Bρ=BρdΓ∑ii∫称这样的平均值为系综平均，ρ为系综的分布函数。在统计系综所包含的大量系统中，在时刻运动状态处于tdΓ范围内的系统数将与ρ(q,P,t)成正比，在时刻t，从统