系综理论 热力学统计物理

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1、第九章系综理论第九章系综理论（Ensembletheory）:Gibbs1902年§9.1相空间刘维尔定理§9.2微正则分布§9.3微正则分布的热力学公式§9.4正则分布§9.5正则分布的热力学公式§9.6实际气体的物态方程§9.7固体的热容量§9.8液氦的性质和朗道超流理论§9.9伊辛模型的平均场理论§9.10巨正则分布§9.11巨正则分布的热力学公式§9.12巨正则分布的简单应用本章重点：正则分布及其热力学公式、巨正则分布及其热力学公式难点：系综，刘维尔定理、实际气体物态方程、超流理论、伊辛模型课时安排：课内6

2、学时，课外2学时参考书：教材；沈惠川《统计力学》20世纪初，美国物理学家吉布斯（J.W.Gibbs）发展了玻耳兹曼在研究各态历经假说时提出的系综(Ensemble)概念，创立了统计系综方法，并于1902年完成了他的科学巨著《统计力学的基本原理》。吉布斯的系综理论不仅能处理近独立粒子系统，而且能处理粒子间存在相互作用的系统。并且，只要将系统微观运动状态由相空间描述改为量子态描述，系综理论就可以过渡到量子统计。因此，可以认为吉布斯的统计系综理论是适用于任何宏观物体的、完整的统计理论。导引但是，自然界中的实际系统内部粒子

3、间的相互作用大多是不能忽略的。这时，系统的能量除每个粒子的能量外，还存在粒子间的互作用势能。单粒子态εl不能由粒子自身的坐标和动量决定，也不能从整个系统的状态中分离出来。因此用单粒子态上的分布描述系统的分布是不适合的。本章介绍的系综统计法能够处理有相互作用的粒子组成的系统。最概然统计法讨论的是彼此独立或近似独立的粒子系统处于平衡态时的统计规律。总能量为单粒子能量之和。是单粒子能级上的粒子数。复习§9.1相空间刘维尔定理一、空间1、空间的局限性：对于粒子间存在相互作用的系统，代表点在空间的运动不独立；2、空间

4、的概念：设系统：N个粒子，粒子自由度数r，则系统自由度数f=Nr以{pi，qi；i=1，2，…，f}为坐标构成2f维正交空间。3、空间的性质：代表点——系统的一个微观态代表点运动——系统微观态的变化即：系统相空间（phasespaceofsystem）4、对系统力学运动规律的描述：哈密顿正则方程——空间中一条相轨道；特点：过空间任一点只有一条相轨道,因为哈密顿量和它的微商是单值函数；不同初始条件的相轨道不相交；保守系统：H是守恒量，——保守系统运动状态的代表点在等能面上运动复习§9.1Г空间(相空间)为了形象地

5、描述系统的微观状态，引入Г空间:设粒子自由度为r，以描述系统状态的Nr个广义坐标和Nr个广义动量为直角坐标而构成的2Nr维空间，称为Г空间或系统相空间。设整个系统的自由度f=Nr。则经典描述方法中系统的微观状态可用f个广义坐标q1,…,qNr和f个广义动量p1,…,pNr表示。特点：aГ空间中的一个点代表系统的一个微观态，这个点叫做代表点。当粒子间的互作用不能忽略时,必须把系统当作一个整体来考虑。1.Г空间b若系统有Ω个微观态，则Г空间中就有Ω个代表点与之相应。一系统微观状态的经典描述d孤立系E=恒量，系统状态代表

6、点在Г空间中形成一个等能面（2Nr–1维）。准孤立系：，能壳eГ空间中的体积元可见，μ空间是Г空间的子空间。c系统微观状态随时间变化时,代表点在Г空间中描绘出一条相轨道。经过空间中任一点的轨道只有一条（轨道不能相交），所以从某状态出发，代表点在空间的轨道要么是一条封闭曲线，要么是自身永不相交的曲线。qp代表点相轨道相体元eГ空间中的体积元复习二、统计系综(ensemble)1、概念：大量全同的、相互独立的系统的集合，其代表点在空间独立运动并形成一个分布。2、意义：用代表点在任意时刻的分布（系综分布）来描述系统在一

7、段时间内的微观态变化3、分布函数：代表点的概率密度。eГ空间中的体积元5.刘维定理（代表点密度ρ随时间的变化规律）刘维定理——系综代表点密度随时间的运动规律：1）表述：2）说明：时间可逆，是力学规律的结果，不是统计规律；推论：若=（H）不显含时间，则3）证明：考虑固定的d，t时刻，代表点数为dpqdt时间内从qi面流进从qi+dqi面流出一对面的增量2f对面的增量而dt时间内的增量应为刘维定理（代表点密度随时间的变化规律）说明：①刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中并未引入任何的统计概念；②相空间中的代表

8、点在运动中没有集中或分散的倾向，而保持原的密度。或者说一群代表点经一定时间后由一个区域移动到另一个区域，在新区域中代表点的密度等于在出发点区域中的密度。③当孤立系处于平衡态时，将不显含时间，即，故，即沿一条线轨道的代表点密度不变。如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数-------刘维尔定理刘维尔（Li