热力学与统计物理——第09章系综理论习题解ok1

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1、第九章系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为其中是系统处在态的概率。证：熵的统计表达式是(1)多粒子配分函数(2)(3)由(2)知(4)(5)(4)X(5)代至(3)得;于是证明2：准备工作习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证：符号习题9.5试根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。解：实际气体的能量表达式为（1）由正则分布，系统处在态的概率是，也就是说，第1,2,…N个粒子的动量分别处在,位置分别处在范围内的概率是对于任意1个分子比如第m个分子，位置处在体积V内，动量处在范围内的概率是将上式对除以外的变量进行积分即由此可见，实际气体分子也遵从麦氏速度分布

2、。习题9.12用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程，内能，熵和化学势。解：巨配分函数的定义是（1）上式可改写为（2）其中是个粒子的正则配分函数（3）代入（2）求得巨配分函数为（4）巨配分函数对数是(5)系统的平均粒子数为(6)由此定出(7)由进一步得粒子的化学势为(8)系统的内能(9)上式的计算用到式（6）的结果。气体的物态方程是(10)即(11)系统的熵是(12)将（6）（7）的结果代入（12）得(13)习题9.17利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布。解：巨正则分布为(1)巨配分函数是(2)假设系统只含一种近独立粒子，粒子的能级为，当粒子在各能级的分布为时，系统的粒子数和能量为(3

3、)(2)式对N,S的求和可以变换为对一切可能的分布求和，并乘上一个分布所对应的系统的微观状态数。在粒子不可分辨且满足的情况下，一个分布所对应的系统的微观状态数(4)巨配分函数是可以表示为(5)其中(6)粒子的能级上的平均粒子数是(6)上式就是玻耳兹曼分布。