热力学与统计物理 第九章 系综理论.ppt

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1、第九章系综理论9.1相空间刘维尔定理一、系综理论的重要性我们前面学习的统计理论，用的是最概然分布的方法，只能处理由近独立粒子组成的系统，具有局限性。系综理论则可以处理由相互作用粒子组成的的系统，也可以处理由近独立粒子组成的系统。系综理论是平衡态统计物理的普遍理论。二、“最概然分布方法”中系统微观运动状态的描述1、系统微观运动状态的描述经典描述量子描述粒子可分辨粒子不可分辨粒子可分辨12、空间粒子的自由度是空间是维的。由粒子的个广义坐标和相应的个广义动量为直角坐标所张成的空间。(2)对于量子情况，空间中的一个相格代表着粒子的一个量子态。(1)对于经典

2、情况，空间中的一点代表着粒子的一个运动状态。2如果系统包含多种粒子，第种粒子的自由度为，粒子数为，则系统的自由度为假设系统由个全同粒子组成，粒子的自由度为系统的自由度为。三、“系综理论”中系统微观运动状态的描述由于粒子间的相互作用不能忽略，应把系统当作一个整体考虑。下面先考虑经典描述。那么，根据经典力学，系统在任意时刻的微观运动状态可由在该时刻的个广义坐标和个广义动量的数值确定。3相空间中的一点代表着系统的一个微观运动状态，此点被称为系统微观运动状态的代表点。系统的微观运动状态随时间改变，代表点将在相空间中移动，满足方程：哈密顿正则方程为了形象的描

3、述系统的微观运动状态，以系统的个广义坐标和相应的个广义动量为直角坐标构成一个空间，称为（相）空间。空间是维的。对于保守系统，哈密顿量就是它的能量为系统的哈密顿量4对于经典理论，在空间中，一点代表代表着系统的一个微观运动状态，随着时间的推移，这些微观运动状态的代表点将在相空间中构成一个连续的分布。用表示相空间中一个体积元，则在时刻，系统处在内的概率可以表示为表示概率密度，其意义是在时刻，系统微观运动状态代表点出现在处，单位体积中的概率。分布函数由于孤立系统的能量不随时间改变，系统的广义坐标和广义动量必然满足,此式确定空间中的一个曲面，称为能量曲面。5

4、如果系统微观状态的代表点出现在中时，微观量的数值是，那么微观量在一切可能的微观状态的平均值为就是与微观量相应的宏观量上式也可以这么理解：那么在时刻，运动状态在范围内的系统数就与成正比。如果在时刻，从统计系综中任取一个系统，这个系统的状态处在范围内的概率为设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定宏观条件下，这样的大量系统的集合称为统计系综。6微观量在一切可能的微观状态上的平均值为在量子理论中，在给定的宏观条件下，系统可能的微观状态也是大量的，以指标标志系统各个可能的微观状态，表示在时刻统处在状态的概率。称为分布函数，满足可以理解为微观量在统计系综

5、上的平均。表示微观量在量子态上的数值确定分布函数是系综理论的根本问题系综平均值7五、统计系综的分类根据外部条件的不同可以将系综分为三类。1、微正则系综：不变孤立系2、正则系综：不变与大热源接触3、巨正则系综：不变与大热源、粒子源接触四、平衡态系统的分布函数经典量子平衡态下的系统宏观物理量不随时间变化89.2微正则分布一、孤立系统：保持不变在空间中，系统（微观运动状态的代表点）将出现在一个很窄的能量壳层中。二、等概率原理在之间的范围内，系统可能的微观状态数是大量的，每一个可能的微观状态出现的概率都相等。9.3微正则分布的热力学公式等概率原理是平衡态统

6、计物理的基本假设，它的正确性由它的推论与实际相符合而得到肯定。最概然分布理论认为宏观物理量是微观物理量在最概然分布下的数值，而系综理论认为宏观物理量是在给定宏观条件下一切可能的微观状态上的平均值。9等概率原理的量子表述：如果用表示在能量范围内系统可能的微观状态数，那么有把理解经典统计理解为量子统计的经典极限，对于含有个自由度为的全同粒子系统，在的能量范围内系统的微观状态数为等概率原理的经典表述为表示相空间中能壳的体积表示相空间中代表着系统微观运动状态的相格个粒子交换不带来新的微观状态，还要再除以10三、微正则分布的热力学量表达式考虑一个孤立系统,由

7、两个子系统构成，两个子系统之间的作用较微弱。分别表示系统的微观状态数系统的微观状态数令和热接触，设在热接触中可以交换能量，但不交换粒子数和改变体积。如果系统含有多种粒子也就是可以改变，但和不改变。11上式表明，对于给定的，取决于能量在间的分配。假设在时，具有极大值。对于宏观系统,的极大值非常陡！因此，可以认为和就是达到平衡时分别具有的能量。这意味着具有，具有能量是一种最概然的能量分配。12求最概然能量分布上式两边都除以热平衡时的能量分布13令比较后，可知如果不仅可交换能量，而且可以改变体积和交换粒子，则可得到两个子系统热平衡时有热平衡条件14热平衡

8、条件力平衡条件相变平衡条件15四、微正则系综理论的简单应用设理想气体含有N个单原子分子，若只考虑平动能量，则系统的哈密顿量