资源描述：
《《概率统计》教学中几个疑难问题之辩析pdf - 山西农.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第27卷3期 安徽师范大学学报(自然科学版)Vol.27No.32004年9月JournalofAnhuiNormalUniversity(NaturalScience)Sep.2004《概率统计》教学中几个疑难问题之辩析郭大伟, 祝东进, 张金洪, 任 永, 黄旭东(安徽师范大学数学与计算机科学学院,安徽芜湖 241000)摘 要:针对《概率统计》课教学中经常出现的一些问题,分析了产生错误的原因并给出了解决问题的一些方法和技巧.关键词:古典概型;概率积分;随机变量的和中图分类号:O212 文献标识码:C 文章编号:1001-2443
2、(2004)03-0273-03 很多学生在学习《概率统计》课程时,对某些概念的理解有一定的困难,一些演算技巧也难于掌握,如果我们在教学的过程中能对这些情况加以重视,将有助于学生克服这些困难.本文中,我们将分析某些错误产生的原因,给出解决某类问题的方法和技巧,并结合实例进行剖析.1 紧扣基本概念,抓住事项本质 初学者往往对基本概念重视不够,这就成为产生某些错误的根源,我们仅就常见的几种情况讨论.1.1区分多维r.v的联合分布与它们的和的分布 几个独立的r.v的联合分布与它们的和的分布是不同的,初学者往往容易混淆.01 例1n个r.v
3、.X1,⋯,Xn,i.i.d.,每一Xi的分布列是,i=1,⋯,n,则(X1,⋯,Xn)的联1-pp合分布是nnxn-∑xP(X1=x1,⋯,Xn=xn)=pi∑=1i(1-p)i=1i,xi=0或1,i=1,⋯,n,n而∑Xi～B(n,p).i=12 例2X1,⋯,Xn,i.i.d,Xi～N(μ,σ),i=1,⋯,n,则(X1,⋯,Xn)的联合分布是n维正态分布n22N(U,σIn),这里U=(μ,⋯,μ)′,而∑Xi～N(nμ,nσ).i=11.2 区分参数和统计量的不同 在参数估计中,我们用统计量来估计未知参数,这里的统计量是r.
4、v.而参数不是r.v.,但初学者往往会混淆两者,特别地,在考虑区间估计的置信系数时,有些人往往会说这是参数落入置信区间的概率,这就将参数混同于r.v.了,正确的说法是“置信系数是置信区间复盖住参数真值的概率”.1.3 正确选择古典概型的样本空间 古典概型的两大特征是样本空间的有限性和样本点的等可能性,初学者往往忽略这一点. 例3抛掷两枚均匀的硬币,求出现“一正一反”的概率. 如误认为三个可能的结果“两正”“两反”和“一正一反”是等可能的,,则会得出所求概率是1/3的错误结论. 有时虽然满足有限性和等可能性,但若样本空间选择得不合适,
5、也会使问题复杂难解. 例4([1]EX1.14)在桥牌比赛中,定约人(南家)及其同伴(北家)共有9张黑桃,求其余4张黑桃在防守方(东西两家)手中2-2分配的概率.收稿日期:2003-12-04基金项目:安徽省省级教学研究项目(JYXM2003159).作者简介:郭大伟(1947-),男,安徽芜湖人,教授.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.274安徽师范大学学报(自然科学版)2004年 确定样本空间时,若考虑成先从除黑桃外的39张牌中挑选17张给定
6、约人,再从剩下的26张牌中挑131713张给东家,则样本点总数为C39C26个,这样考虑的模型复杂且繁琐.如我们仅考虑派发给防守方的牌,总共13有26张(其中有4张黑桃),从中挑13张给东家,这样的样本点总数是C26个,这就简单多了. 例5箱子中有N个外形相同的球,分别标有号码1,⋯,N,从箱子中有放回地摸了n次球,依次记下号码,试求这些号码按上升次序(不一定严格)排列的概率.n 这显然是古典概型,样本点总数是N个.所求事件包含的样本点个数可考虑为从N个元素中选取n个n可以重复的元素的组合数,这个值是Cn+N-1,它可以看作是将n个球(
7、无差别)放入N个格子的放法总[2]nn数.故所求概率是Cn+N-1/N,需要注意的是这里分母是排列数,而分子是组合数.1.4 融汇贯通所学知识 在运用所学知识解决问题时,我们提倡一题多解,并推荐用最简捷的步骤解题.例如设r.v.X与Y独立,都服从正态分布,要判断X+Y与X-Y的独立性时,就不必要去求(X+Y,X-Y)的联合分布密度,只要从二元正态变量不相关性与独立性等价出发,求出cov(X+Y,X-Y)=0即可,后者显然非常简单.2 巧用概率积分 在求r.v.的函数的分布或求概率时,常会碰到一些很困难的积分,若能巧妙地利用概率积分的值为
8、1,则可使问题简化. 例6([1]EX4.27)设r.v.ξ与η独立,且分别具有概率密度函数:21-x/2pξ(x)=e,-∞
