方差(概率统计).pdf

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1、3.2方差例：某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：a测量结甲仪器测量结果果的均值都是aa较好乙仪器测量结果若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：乙较好甲炮射击结果乙炮射击结果你认为哪门炮射击效果好一些呢?因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.

2、这个数字特征就是我们这一讲要介绍的----方差方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：有甲10,7,9,8,10,6,五乙8,7,10,9,8,8,有个四不问哪一个射手的技术较好？个同解首先比较平均环数不数同甲=8.3,乙=8.3数再比较稳定程度甲：2(108.3)2(98.3)2(88.3)222(78.3)(68.3)13.34乙：(108.3)2(98.3)23(88.3)22(78.3)5.34乙比甲技术稳定，故乙技术较好.进一步比较平均偏离平均

3、值的程度1222甲[2(108.3)(98.3)(88.3)622(78.3)(68.3)]5213.34/62.22xkkEXpk1122乙[(108.3)(98.3)6E[X-EX]2223(88.3)(78.3)]425.34/60.89xkkEXpk1一、方差的定义Def若E[(X–EX)2]存在,则称其为随机变量X的方差,记为D(X)或Var(X)即DX=E{(X–EX)2}DX称为X的标准差.两者量纲相同D(X)——描述r.v.X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数D(X)=E{(X–EX)

4、2}注:1.方差非负，即DX0；2.EX的取值相当于物理学上作一条直线，使所有的点均匀分布在直线的两边3.DX的取值相当于平均误差；4.DX=0的充分必要条件为r.v.X的取值为常数。5.方差与标准差功能相似，都用来描述随机变量取值集中与分散的程度。方差越小，取值越集中，反之越分散。几何解释xxxxxxxx1234567nEX1234567n若X为离散型r.v.，分布律为P(Xx)p,k1,2,kk2DXxkkEX()pk1若X为连续型r.v.，概率密度为f(x)2DXxEXfxdx()计算方差的常用公式：22DX()

5、EX()EX二、几个重要r.v.的方差1.0-1分布2.泊松分布P()：3.均匀分布U(a,b)：4.指数分布e()：25.正态分布N(,)常见随机变量的方差分布概率分布方差参数为p的P(X1)pp(1-p)0-1分布P(X0)1pkknkP(Xk)Cp(1p)nB(n,p)np(1-p)k0,1,2,,nkeP()P(Xk)k!k0,1,2,分布概率密度方差12区间(a,b)上,axb,(ba)f(x)ba的均匀分布0,其它12xe,x0,Exp()f(x)20,其它2(

6、x)2122N(,)f(x)e22（1）D(c)=0D(aX+b)=a2D(X)（2）D(cX)=c2D(X)（3）22DaX(bY)aDX()bDY()2abEX(EXY)(EY)22aDX()bDY()2abEXY[()EXEY]特别地，若X,Y相互独立，则22DaX(bY)aDX()bDY()（4）若X1,,Xn相互独立，a,a,,a,b为常数12nnn2则DaiXibaiD(Xi)i1i1若X,Y相互独立D(XY)D(X)D(Y)（5）D(X)=0P(X=E(X))=1称为

7、X依概率1等于常数E(X)二项分布的方差设1第i次试验事件A发生Xi0第i次试验事件A不发生则n22DXiEX()iEXiXXii12ppp(1p)nnDXDXip(1p)np(1p)ii11标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称XE(X)XD(X)为X的标准化随机变量.显然，E(X)0,D(X)1Eg已知X的p.d.f.为2AxBx,0x1,f(x)0,其它其中A,B是常数，且E(X)=0.5.（1）求A,B.（2）设Y=X2,求E(Y),D