应用数理统计第4章.pdf

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1、第4章方差分析方差分析(AnalysisofVariance，ANOVA)：研究一个(或多个)分类自变量如何影响一个数值因变量的统计分析方法。方差分析针对方差相同的多个正态总体，检验它们的均值是否相同。即，同时判断多组数据均值之间差异是否显著东北大学数学系方差分析的目的①.判断某些因素对于我们感兴趣的因变量是否具有“显著”的影响，②.如果因素间有交互效应，寻找最佳搭配方案。方差分析的特点①方差分析与一般的假设检验不同要比较均值是否相同，可以使用第3章假设检验的方法，但是只能处理两个均值。方差分析处理的是多个均值的情况。②方差分析

2、与回归、相关分析不同回归与相关处理的是两个数值变量的问题，相应的散点在x轴上具有顺序(从小到大)，而方差分析的数据在x轴上可以任意交换位置。常见的方差分析主要有：单因素方差分析，双因素方差分析，多因素方差分析。4.1方差分析的数学模型响应变量(因变量)：进行随机试验所考察的数值指标；因素或因子(自变量)：影响因变量的各不同分类原因；水平：各个因素所构成的组或者类型。Fisher的农业试验考察小麦产量(y)对于品种和施肥量的关系。选择了：两个不同的小麦品种，三个不同的施肥等级；一共2×3=6种搭配做试验，建立模型。y=θ+α+β+

3、ε1101111y=θ+α+β+εyij是小麦产量，1201212α1、α2是品种效应，y=θ+α+β+ε1301313β1、β2、β3是施肥y=θ+α+β+ε2102121等级的效应，y=θ+α+β+εθ0是其它因素的2202222平均效应。y=θ+α+β+ε23023232εij是随机误差，i.i.d~N(0,σ)品种是否对产量有影响⇔H01：α1=α2施肥量是否对产量有影响⇔H02：β1=β2=β3把这个模型写成矩阵的形式：Y=Xβ+εy11110100θ0ε11y110010αε12

4、112y110001αε13213=+y101100βε21121y101010βε22222y23101001β3ε23在方差分析中，同一个因素的不同水平看成是模型里的不同变量，而不能看成是同一个自变量在不同试验里的取值。(否则需要y对x有线性相依关系)4.2单因素方差分析1.数据的结构自变量水平试验指标观察值组内平均1yy…yy11121n112y21y22…y2n2y2………ryr1yr2…yrnryr

5、影响y的只有一个因素，它有r个水平(组)，在第i个水平下针对y做了ni次试验或观察，得到因变量的观察数据为yi1，…，yini。可以假定：yij=βi+εij，1≤j≤ni、1≤i≤r这里εij对所有i、j都独立同分布于N(0,σ2)单因素方差分析的主要任务：1.检验假设：H0：β1=β2=…=βr；2.作出未知参数β1，…，βr以及σ2的估计2.因子效应与误差方差的估计按照模型的假定，因变量的观察值来自r个不同的正态总体：y11，…，y1n1来自总体N(β1,σ2)；y21，…，y2n2来自总体N(β2,σ2)；…yr1，…，

6、yrnr来自总体N(βr,σ2)。未知参数β1，…，βr的估计就采用各个总体的样本均值。定理4.1方差分析中未知参数估计及分布1.因素各水平效应的估计采用各个组内平均，n1iβˆ==yy∑iiijnij=12ˆ~(,)1σ相应的分布显然是：ββNi≤≤riini2.误差方差σ2的估计利用残差平方和，rnRSS1s22σˆ==∑∑()yyij−inrnr−−ij==112()nr−σˆ2相应的分布是：2~()χnr−σˆˆˆˆ23.β1，，β2…，，βrσ之间相互独立。3.方差分析平方和分解公式rni2(1)总平方和TSS=−∑∑

7、()yyijij==11它是观察到的每个数据与总平均的差异总和，表示因变量总的变化。TSS衡量了全部yij的差异，它越大则说明yij之间的差异越大。产生TSS的原因只有两个：(1).因子不同的水平，即β1，…，βr的差异；(2).随机误差。r2(2)自变量平方和CSS=−∑nyyi()ii=1它是因为自变量不同的类型而产生的差异，表示自变量在因变量的变化中所占的份额。∑(每组平均-总平均)2来刻化rni2(3)残差平方和RSS=−∑∑()yyijiij==11表示由其它原因引起的因变量变化，利用∑(观察值-每组平均)2来刻化方差

8、分析平方和分解TSS=CSS+RSS利用Cochren定理可以证明，自变量平方和CSS与残差平方和RSS相互独立。4.单因素方差分析的检验如果零假设H0：β1=β2=…=βr成立，则有CSS2——~χ(r-1)2σ由定理4.1.1构造检验统计量n–rCSSF比=