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1、第一章 抽样分布§1.1基本概念§2.2抽样分布一、母体1、母体 是指被研究事物的全体,构成母体的元素称为个体。在数理统计中母体一般为一些具有相同性质的数据的集合,用随机变量X表示。个体用X1表示。例如:某地区人体身高X;甲身高为X1§1.1基本概念2、母体的分布:母体X为随机变量,随机变量X的分布称为母体的分布。用F(x,θ)表示,当然,如果是离散型,可用分布律p(x)=P(X=x),对于连续型随机变量,可用密度函数f(x,θ)。θ是未知参数。3、母体的数字特征:用母体的分布计算的数学期望、方差等数字特征。(1)母体平均数=E(X)(2)母体方差=D(X)称为母体标准差(3)母体k
2、阶原点矩αk=E(Xk)(4)母体k阶中心矩βk=E[(X-EX)k]注意:母体的分布及数字特征是客观存在但往往未知,数理统计的任务之一研究母体的分布及数字特征。所用工具是子样。二、子样1、子样:由若干个体构成的集合称为子样。X1,X2,…Xn称为容量为n的一个子样。2、简单随机子样:X1,X2,…Xn满足(1)用随机原则抽样(2)相互独立同分布(与母体分布相同)注:(1)数理统计的子样均为简单随机子样;(2)如何取得简单随机子样。其一是随机性,传统的做法是母体的所有元素编号,按随机抽样方法抽取号码。其二是独立性,抽样时采用有放回抽样则一定是独立的,但实际情况一般是不放回抽样,此时,如果母体元
3、素个数N充分大,而子样容量相对小n(n/N0.1),则可视为独立抽样。3、子样观察值(子样值):子样X1,X2,…Xn在试验前是n维随机变量,而试验后是一组数值,称为子样值,表示为x1,x2,…xn。例:X为人体身高,计划抽取100人测身高,此时为随机变量,具体实施为子样值。4、子样分布:子样分布为子样的频数分布(将在第三章给出)(1)子样平均数5、子样的数字特征(2)子样方差S称为子样标准差母体特征=E(X)=D(X)=E[(X-EX)2](3)子样k阶原点矩对子样值,x1,x2,…xn可以计算出(4)子样k阶中心矩子样母体数理统计的基本思路:母体分布F(x,θ)数字特征,αk
4、,βk(未知)抽样试验x1,x2,…xn子样分布及子样数字特征推测三、统计量1、统计量的定义:对来自母体X的子样X1,X2,…Xn,如果子样函数g(X1,X2,…Xn)不显含任何未知参数,则称g(X1,X2,…Xn)为一个统计量,对子样值x1,x2,…xn,计算出g(x1,x2,…xn)为统计值。例: 是统计量(,未知)不是统计量2、常用统计量(1)子样数字特征(2)子样位置统计量:子样X1,X2,…Xn按顺序排序为§1.2抽样分布一、四个分布(一)标准正态分布1、标准正态分布的密度函数2、标准正态分布上侧分位数(1)上侧分位数 的定义: 满足aa(2) 的求法:的满足,故可反
5、查 表,则得(3) 的概率对称点(图形对称)例:例:(二)2分布(卡方分布)1、2分布的定义:设X1,X2,…Xn独立同分布,均服从标准正态分布,即记 ,称Y服从自由度为n的2分布记作注:自由度的意义是一个平方和中独立的变量,其计算可用平方和的项数减变量的线性关系式的个数。例:子样方差其项数为n,令可得故 的自由度为n-12、2(n)的密度函数的图形:由于2分布是标准正态分布的平方和,故2分布总是非负的,因此密度函数的图形是在y的右方的。在y的左方为0。2(n)的密度函数的图形3、上侧分位数(1)定义:满足α(2) 的概率对称点α(3) 的求法例:4、2
6、分布的一个性质:设且U与V相互独立,则(三)t分布(student分布)1、t分布的定义:设X与Y相互独立,且记称T服从自由度为n的t分布,记作2、t分布的密度函数的图形:由于标准正态分布关于y轴对称,而分母是自由度为n的2分布,n充分大,接近一个常数,可以证明t分布的密度函数关于y轴对称。t分布的密度函数的图形3、上侧分位数(1)定义:满足ααt0(2) 的概率对称点(图形对称)(3) 的求法例:(四)F分布1、F分布的定义:设U与V相互独立,且记称F服从自由度为2、F分布的密度函数的图形:由于F分布的分子与分母都是2分布,故F分布总是非负的,因此密度函数的图形是在y的右方的.在y
7、的左方为0。的F分布记作3、上侧分位数(1)定义:满足α(2) 的概率对称点α的密度函数的图形4、 的性质设 ,则5、 与 的关系独立X1,X2,…Xnaaααt0αααα二、抽样分布(一)单母体下的抽样分布:X是母体,X1,X2,…Xn来自母体X的子样,子样平均数及子样方差为记(修正子样方差)1、基本定理:设母体(1)(2)(3) 与 相互独立(