应用数理统计第1章

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1、河海大学研究生数学系列基础课程CAI概率论与数理统计讲授:夏乐天本课程与其他数学基础课的关系微积分（高等数学）线性代数序言一.确定性数学初等数学、高等数学(微积分)、线性代数等二.随机数学---以概率论为代表1.非确定性现象:彩票中奖发大水阴天等2.生活中的随机现象：抛硬币掷骰子赌博出生性别等3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学---概率论三.理论联系实际最活跃的学科1.应用性:概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科技等领域2.渗透性:与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可

2、靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、数量经济等四.概率论的内容构成本课程的内容在数学上属于概率论范畴，它由如下三个部分所组成基础部分---概率论:古典概率随机变量及其分布分布函数数字特征等应用部分---数理统计:统计量构造参数估计假设检验回归分析等深入部分---随机过程:马尔可夫过程平稳过程随机分析等本课程主要介绍应用部分，但需要回顾基础部分。概率论第一章事件与概率第二章随机变量及其分布第三章随机向量及其分布第四章随机变量的数字特征何特征函数第五章大数定律和中心极限定理第一章随机事件和概率随机事件和样本空间概率及其性质条件概率、全概公

3、式和贝叶斯公式事件的独立性及贝努里概型1.1随机事件和样本空间一、随机试验1.随机试验(简称“试验”)的例子随机试验可表为EE1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:抛两枚硬币，考虑可能出现的结果；E3:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i;E4:掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；E6:对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果;E7:在一批灯泡中任取一只，测其寿命。2.随机试验的特征(1)可在相同条件下重复进行;(2)试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果;(3)一次试验之前无法确

4、定具体是哪种结果出现。二、样本空间1、样本空间：所有试验结果组成的集合称为样本空间，记为={}；2、样本点:样本空间的元素称为样本点，样本点即试验结果，记为.例如对应E1的样本空间为={H，T}；对应E2的样本空间为={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}；对应E5的样本空间为={0,1,2,…}；三、随机事件1.定义试验中可能出现或可能不出现的事情叫“随机事件”,简称“事件”.2.基本事件:不可能再分解的事件,即试验的结果，常记为“”.3.两个特殊事件:必然事件Ω、不可能事件.任何事件均是某些样本点组成的集合.例对于试验E2

5、与E5，以下A、B即为两个随机事件:A＝“至少出一个正面”＝{(H,H),(H,T),(T,H)}；B＝“至少m次少于n次”＝{m,m+1,…,n－1}。四、事件之间的关系1.包含关系:“A发生必导致B发生”记为ABA＝BAB且BA.2.和事件:AB3.积事件:AB＝AB4.差事件、对立事件(余事件)：A－B称为A与B的差事件BB称为B的对立事件;易知ABAB;5.互不相容性：AB＝A、B互为对立事件AB＝,且AB＝6.可分性：对任意两事件A、B，有AABAB.一般的，有如下定义定义事件组A1，A2，…，An(n可为

6、)，称为样本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：n(i)Ai;i1(ii)AA,(ij),i,j1,2,,n.ij五、事件的运算1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：ABAB,ABAB可推广AkAk,AkAk.kkkk1.2概率及其性质一、频率1.定义事件A在n次重复试验中出现n次，则比值AnA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，

7、记为fn(A).即fn(A)＝nA/n.2.频率的性质(1)非负性：fn(A)≥0；(2)规范性：fn()＝1；(3)可加性：若AB＝，则fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个定值。二.概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.50051.定义若对随机试验E所对应的样本空间

8、中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性：对