国立台湾海洋大学97年度教学卓越计画大学生暑期学习计画.ppt

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1、國立臺灣海洋大學97年度教學卓越計畫大學生暑期學習計畫—執行成果報告計畫名稱：平面曲線曲率之研究與動畫模擬姓名：戴志豪指導學長：高聖凱、李家瑋學長指導教授：陳正宗終身特聘教授時間：2008/11/25前言在土木工程領域的範疇中，工程上的數學應用與計算，一直扮演著極為重要的角色。土木工程應用上，與矩陣的計算在力學方面應用相當廣泛。的幾何與力學意義就是本研究想要了解的重點。研究議題以向量微積分觀點，探討平面曲線。利用曲線弧長參數表示法作為切入點。以不同的參數表示式求得曲率半徑。透過Mathematica軟體建構軌跡動畫。探討彼此間的

2、關係，並整理出平面曲線曲率的各種計算公式。矩陣函數　　的求解技巧與應用。一、研究方法與數學推導：曲率與曲率半徑平面座標系的微積分推導給一平面曲線y(x)，如圖(一)所示：圖(一)曲線y(x)的微小路徑變化y(x)在(x,y(x))處的切線斜率可表示為：(1)再對x做一次微分，可得(2)移項整理可得(3)利用弧長表示式，可表示如下，其中為半徑，ds為弧長(4)其中(5)(7)(6)根據(4)式得到將(3)式及(5)式代入(6)式得所以可得曲率κ如下：(8)平面座標系的弧長表示法給一平面曲線，其弧長參數表示式為(x(s),y(s))

3、，則(9)(10)將(9)式代入(10)式，可得(11)將(9)式和(11)式代入(7)式，曲率半徑可轉成如下表示式(12)FrenetFormula給一平面曲線，其時間參數表示式為(x(t),y(t))，藉由弧長關係式(13)可將時間參數表示法轉成至空間弧長參數表示如下:(14)其中，為位置向量，為微小段路徑長，如下圖(二)所示。圖(二)位移向量定義單位切向量為(15)則(16)因為為單位切向量，其長度為1，亦即(17)取微分得(18)所以與單位法向量平行，因此我們可定義(19)則其長度為(20)所以曲率半徑可藉由弧長參數表示

4、法，變成(21)二、研究方法與結果矩陣函數運算：運算矩陣特徵值時，若為相異根，則以傳統相似轉換法，即可求得。若出現重根，則相似矩陣法無法解出真正的解。故需使用JordanCanonicalForm解決重根問題。1.無重根問題-傳統方法假設有一矩陣A，其特徵向量組成的矩陣為V。vn為矩陣V之列向量(22)，(23)且，(24)則(25)所以(26)2.重根問題-JordanCanonicalForm令有一矩陣A，其特徵值為重根。利用JordanCanonicalForm解決重根問題。矩陣特徵值有二重根時JordanForm表示為若

5、特徵值為四重根，則Jordan矩陣可表示如下(27)(28)(29)3.矩陣餘式定理應用有一矩陣Ａ，特徵方程式為，特徵值為。由Cayley-Hamiltontheorem知。透過餘式定理可知(30)將分別代入(32)式，可求得，再由實數和矩陣可互換性質，實數換為矩陣Ａ可得(31)代入矩陣Ａ解得4.算例例題1：已知矩陣，求(1)傳統方法求矩陣A的特徵方程式為(32)特徵值與其相對之特徵向量分別為(33)所以矩陣以表示方式為(34)(35)(36)(2)矩陣餘式定理求矩陣，可得特徵方程式為(37)所以特徵值、，由餘式定理列出(38)

6、將　與　代入，可解得(39)與代入(38)式可得(40)由實數和矩陣可互換性質，將實數換為矩陣列出(41)和(36)式所得結果相吻合。例題2：求解重根問題已知，以矩陣餘式定理操作求解重根問題，求值特徵方程式為：(42)其特徵值為and(43)可由餘式定理寫出(44)t可視為常數。將、與代入(44)式，可得三條方程式。為求四個未知數需四條方程式，因，故缺少一條方程式。所以對x微分，將代入，得第四條方程式。四條方程式解四個未知數。可得、、and(45)可表示為(46)由於(47)代入(46)式可得(48)矩陣A代入解得(49)卡式座

7、標轉換極座標(二維)：圖(三)在平面座標系上，給一向量(50)將(50)式對t微分可得：(51)整理可得：(52)由(52)式可得：(53)比較各種曲率表示式由微積分可直接推得(12)式之曲率半徑表示式(54)而利用FrenetFormula可得(21)式(55)而因為單位切向量，所以故可將(21)式表示如下(56)整理可得下表(一)。表(一)曲率半徑表示式之比較表微積分推導FrenetFormula優點任何參數式均可適用。計算上較方便，但參數式須為弧長表示法。函數型為時，較適用。說明若函數為可知其參數式故可直接利用此法，計算曲

8、率半徑，不用轉換為弧長表示法。若函數為，其中可知其參數式故利用此方法計算曲率半徑會比較迅速。1.若函數為為函數型式，故可直接利用此法計算曲率半徑。2.此方法彈性比較大，只要是參數表示式均可使用。平面曲線動畫模擬與FrenetFormula參數研究一般軌跡方程為聯