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1、清华微积分答案【篇一：清华大学微积分a笔记(上)】t>f(x)f(x)多元函数的切平面、全微分、偏导有多元函数f(x)，若存在向量a=(a1,a2,…,an)使得f(x)-f(x0)-a(x-x0)=o(
2、
3、x-x0
4、
5、)，则称g(x)=a(x-x0)是f在x0处的切平面df=adx=a1dx1+a2dx2+…+andxn是f的全微分bk=?(f)/?(xk)是将x的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分可以证明若a存在，ak=bk=?f/?xknabla算子?=(?/?x1,…,?/?xn)?a=grad(f)=a称为f的梯度，?(f○g
6、)=g?f+f?ga.e=?f/?l其中l与e平行若f在x0可微：x0处f各一阶偏导存在x0处f有梯度x0处f连续x0处f的各方向导数均存在若f在x0处各一阶偏导函数连续，则f在x0可微a=?f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=
7、
8、a
9、
10、，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(
11、
12、x-x0
13、
14、)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/
15、?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian(f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij:=?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f)=?.f=?f1/?x1+…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u)(u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g)=j(f(u))j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?x
16、j=?f/?u*?u/?xj=sum[?f/?ui*?ui/?xj]{foreachuiinu}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2),u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2=数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1.存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一
17、个y使得f(x,y)=0，即函数f在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0,所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj*?xj/?xi]=0(把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=
18、0(ij)所以?f/?xi+?f/?y*?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f):=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn):=?y/?x=-[?f/?y]-1*?f/?x注：
19、1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/
20、a
21、，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1*[?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)=?f
22、/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/
23、a
24、，a*是a的余子
