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《清华大学微积分A笔记(下).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二重积分换元：dxdy=∂x,y∂u,vdudv常用：极坐标变换x=rcosθy=rsinθ,dxdy=rdrdθ,θ∈[0,2π]椭圆极坐标变换x=atcosθy=btcosθ,dxdy=abtdtdθ,θ∈[0,2π]三重积分换元：dxdydz=∂x,y,z∂u,v,wdudvdw常用：柱坐标变换x=rcosθy=rsinθz=z,dxdydz=rdrdθdz,θ∈[0,2π]球坐标变换x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ,dxdydz=r2sinθdrdθdφ,θ∈0,π
2、,φ∈[0,2π]椭球坐标x=atsinθcosφy=btsinθsinφz=ctcosθ,dxdydz=abcsinθdtdθdφ第一类曲线积分：标量在曲线上不分方向的积分Lf(r)dl计算方法：1.化为定积分二维下x=x(t),y=y(t),则Lf(r)dl=frx't2+y't2dt2.注意对称性第一类曲面积分：标量在曲面上不分方向的积分计算方法：1.化为二重积分ijkxu'yu'zu'xv'yv'zv'=Ai+Bj+Ck是曲面S:x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)的一个法向量，
3、在S上的面元dS=A2+B2+C2dudv如果将S向xOy面上投影，n是S的单位法向量，则dS=dxdyn.z即dxdy=cosθdS，其中θ是法向量与z轴的夹角第二类曲线积分：向量在定向曲线上沿切向量的积分计算方法：1.化为定积分：LABFx,y,zdl=LABXx,y,zdx+Yx,y,zdy+Zx,y,zdz2.化为第一类曲线积分：LABFx,y,zdl=LAB(Fx,y,z.t)dl,其中t是曲线的切线方向,tdl=(∂x∂t,∂y∂t,∂z∂t)dt3.用Stokes公式转化为第一类曲面积
4、分LABFx,y,zdl=D∇×FdS,其中曲线的旋转方向必须使得D始终在曲线左侧。若曲线不闭合，选择计算简便的路径使之闭合3’.二维情况：Green公式∂DXdx+Ydy=D∇×Vdxdy=D(∂Y∂x-∂X∂y)dxdy,其中V=Xi+Yj特别地，S=Ddxdy=∂Dxdy-ydx4.对于与路径无关的曲线积分可以从1.式中凑积分凑积分公式：darctanyx=xdy-ydxx2+y2dkx2+y2+z2=-kxdx+ydy+zdzx2+y2+z232第二类曲面积分：向量在定向曲面上沿法向量的积分
5、（向量场在曲面上的通量）计算方法：1.化为第一类曲面积分：S+V.dS=sV.ndS=SV.Ai+Bj+Ckdudv,其中n是曲面沿定向的单位法向量2.化为二重积分S+V.dS=SXx,y,zdy∧dz+Yx,y,zdz∧dx+Zx,y,zdx∧dy其中若S+的定向与x轴正方向成锐角则dy∧dz=dydz，成钝角则dy∧dz=-dydz计算SXx,y,zdy∧dz时，可以使用曲面方程消去x=x(y,z)，然后用平面上的积分方法来求，这样dydz可以使用记忆的平面的公式化为参数形式带wedge的二重积
6、分也可以转化成第二类曲面积分来做3.用Gauss公式转化为三重积分S+V.dS=V∇.VdV，其中S的定向向外，若曲面不闭合，选取面使之闭合比较：定积分换元du=u'xdx曲线积分换元dl=x't2+y't2dt=tdtdl=tdl=tdt,其中t=(x't,y'(t))二重积分换元dxdy=∂x,y∂u,vdudv=xu'yu'xv'yv'曲面积分换元dS=A2+B2+C2dudv=
7、n
8、dudvdS=ndS=ndudv,其中n=A,B,C=ijkxu'yu'zu'xv'yv'zv'三重积分换元d
9、xdydz=∂x,y,z∂u,v,wdudvdw附录：常用坐标系极坐标系x=rcosθy=rsinθ,θ∈[0,2π]面积元dS=dxdy=rdrdθ常用积分限：过原点的圆,x2+y2≤a2→r∈0,a,θ∈0,2π过(0,a)且半径为a的圆x2+y2≤2ay→θ∈0,π,r∈0,2asinθr=R的弧元dl=rdθ对于圆周x2+y2=2ay上的曲线积分，可以套用极坐标换元r=2asinθ,x=2asinθcosθy=2asinθsinθ,θ∈[0,π]，此时需要重新计算弧元。也可以用三角换元x=a
10、cosθy=a(sinθ+1),θ∈0,2π，而且平移变换不会改变弧元dl=adθ柱坐标系x=rcosθy=rsinθz=z,θ∈[0,2π]体积元dV=dxdydz=rdrdθdzr=R的柱面面积元dS=Rdθdz球坐标系x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ,θ∈0,π,φ∈0,2π体积元dV=dxdydz=r2sinθdrdθdφ常用积分限：过原点的球x2+y2+z2≤a2→r∈0,a,θ∈0,π,φ∈0,2π过0,0,a的球x2+y2+z2
