清华大学微积分

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1、作业P34习题2.13(2)(3).P39习题2.21(2)(3).2(2)(6)(9)(13).3(1)预习：P40—497/19/20211第二讲函数极限一、函数极限二、函数极限的性质三、函数极限的运算法则四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量7/19/20212极限的重要性（1）极限是一种思想方法（2）极限是一种概念（3）极限是一种计算方法从认识有限到把握无限从了解离散到理解连续微积分中许多概念是用极限定义的许多物理、几何量需要用极限来求7/19/20213函数极限问题是研究当自变量一、函数的极限趋向

2、于的变化趋势或趋向于无穷大时，函数（两种基本变化趋势）趋向于一点(一)自变量的变化趋向于无穷7/19/20214定义1：（二）函数极限的定义1.函数在一点的极限7/19/20215[注意]考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。[例1]7/19/20216[例2]7/19/20217定义2：（左、右极限）7/19/20218一点极限与单侧极限有什麽关系？[例]观察图形问题：7/19/202192.函数在无穷远的极限定义3：类似的可

3、定义或7/19/202110例如7/19/202111定义4：3.函数极限的精确定义7/19/202112二、函数极限的性质性质2:（有界性）函数极限如果存在，则函数一定有界.性质1:（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的.7/19/202113性质3:（保号性）性质47/19/202114（一）四则运算定理注：表示的任一种趋向.三、极限的运算法则7/19/202115（二）复合函数的极限定理[注意]例如：7/19/202116（三）夹逼定理:（四）初等函数的极限7/19/202117四、两个重要极限1.2.7

4、/19/202118利用夹逼定理考虑不等式即[证明]亦即7/19/202119将（1）式与（2）式结合起来，得到有7/19/202120即7/19/202121定义1：在某个变化过程中,极限为零的函数,称为在此变化过程中的无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量（一）定义例如：[注意]：无穷小量是极限为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！7/19/202122定义2：在某个变化过程中,绝对值无限变大的函数,称为在此变化过程中的无穷大量（无穷大）。7/19/202123[例]7/19/202124（二）无穷小与无

5、穷大的性质性质1：注意：性质1只可以推广到有限个函数[例]7/19/202125性质3：性质2：7/19/202126[例][例]7/19/2021271.（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（三）三个重要关系7/19/2021283.无穷大与无界函数问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？7/19/202129