资源描述：
《清华大学微积分a笔记(上)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多元函数、多元向量值函数f(X)F(X)多元函数的切平面、全微分、偏导有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,…,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(
2、
3、X-X0
4、
5、)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面df=AdX=a1dx1+a2dx2+…+andxn是f的全微分bk=∂(f)/∂(xk)是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分可以证明若A存在，ak=bk=∂f/∂xkNabla算子∇=(∂/∂x1,…,∂/∂xn)∇A=Grad(f)=A称为f的梯度，∇(f○g)=g∇
6、f+f∇g若有单位向量e=(cosθ1,cosθ2,…,cosθn)，则称A.e是f沿e方向的方向导数，A.e=∂f/∂l其中l与e平行若f在X0可微：X0处f各一阶偏导存在X0处f有梯度X0处f连续X0处f的各方向导数均存在若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微A=∇f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=
7、
8、A
9、
10、，称A是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导F(X)=(f1(X),f2(X),…,fm(X))，若所有fi在X0处可微，则称F在X0处可微，即F(X)=F(X0)
11、+A(X-X0)+o(
12、
13、X-X0
14、
15、)，其中A=(aij)m*n=∂F/∂X=∂(f1,f2,…,fm)/∂(x1,x2,…,xn)=J(F(X0)))称为F在X0处的Jacobian(F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度，aij:=∂Fi/∂xj)F的全微分dF=AdX当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)Div(F)=∇.F=∂f1/∂x1+…+∂fm/∂xmCurl(F)=∇×F复合函数求导一阶偏导：若G=G(X)在X0可微，F=F(U)(U=G(X))在G(X0)可微，则F○G在X0处可
16、微，J(F○G)=J(F(U))J(G(X))具体地，对于多元函数f(U)=f(u1,…,um)，其中U=G(X)即ui=g(x1,…,xn)∂f/∂xj=∂f/∂U*∂U/∂xj=Sum[∂f/∂ui*∂ui/∂xj]{foreachuiinU}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(U):=f(u1,u2),U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))∂2f/(∂x1)2=数学分析教程P151隐函数、隐向量值函数由F(X,Y)=0确定的函数Y=f(X)称为隐函数隐函数：1.存在定理：若n+1元函数F(X,
17、y)在零点(X0,y0)处导数连续，且∂(F)/∂(y)(X0,y0)<>0，则存在(X0,y0)附近的超圆柱体B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一点X可以确定一个y使得F(X,y)=0，即函数F在B内确定了一个隐函数y=f(X)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果∂(F)/∂(y)=0，那么在X=X0超平面上，y在X0处取得了极值，那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数2.偏导公式：在B内的(X,y)处，∂y∂xi=-∂F/∂xi∂F/∂y或者说∂y
18、∂X=-∂F/∂X∂F/∂y不正式的证明：F(X,y)≡0,所以∂F/∂xi=0,即Sum[∂F/∂xj*∂xj/∂xi]=0(把y记做xn+1)由于X的各分量都是自变量，∂xj/∂xi=0(i<>j)所以∂F/∂xi+∂F/∂y*∂y/∂xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若X∈Rn,Y∈Rm，m维n+m元向量值函数F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)点的某个邻域B(P0,r)内是C(1)类函数，F(P0)=0，且∂F/∂Y可逆，则存在P0的邻域B(X0)*B(Y0)，使得对于在B(X0)内的任意
19、X，存在唯一Y∈B(Y0)满足F(X,Y)=0，即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f(X)2.偏导公式：J(f):=∂(y1,…,ym)/∂(x1,…,xn):=∂Y/∂X=-[∂F/∂Y]-1*∂F/∂X注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/
20、A
21、，A*是A的余子矩阵的转置2.如果只求J(f)中的一列，∂(Y)/∂(xi)=-[∂(F)/∂(Y)]-1*[∂(F)/∂(xi)]3.如果只求J(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算∂F/∂X时，忽略Y是X的函数，将Y当作自变量计算（从证
22、明中可以看出原因，因为∂y/∂x的成分被移到了等式左侧J(f)里面)，而不用偏导公式，采取对F(X,Y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，Y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数Y=f(X)将Rn映射至Rm，如果J(f)=∂f/∂X可逆，那么存在f的反函数X=f-1(Y)，且J(f-1)=[J
