清华 微积分2 04秋-答案

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1、高等微积分B期末试题（2005年1月9日）及答案1．填空题（直接填在横线上）（4分/小题）1)．广义积分在时收敛，在其它情形发散。2)．叙述一致连续的定义：若，则称函数在区间一致连续。3）0。4）1。（注：）2．选择题（直接填在括号内）(3分/小题)1)．若级数绝对收敛，且，，则级数的敛散情况是[A]A.绝对收敛；B.条件收敛；C.可能绝对收敛也可能条件收敛；D.可能收敛也可能发散。2)．若级数，的收敛半径分别为和，且，则的收敛半径为[A]A.；B.；C.；D..3)．下列陈述中，与“数列不收敛于”等价的是[D]A.；B.；C.；D..

2、4)．设函数在区间可积，则函数在区间满足[C]A．有连续的导函数；B．可导，但导函数不一定连续；C．连续，但不一定处处可导；D．不一定连续。3．判断题：指出下列陈述是否正确，并简述理由(若正确，给出简要证明；若错误，举出反例)（5分/小题）。评分：结论3分，理由2分1)．若，则数列收敛。错误。例如所以但数列发散。2)．若函数在区间可积，则函数在区间也可积。正确。因为在任何一个子区间上，函数的振幅都小于或等于函数在此子区间上的振幅。3)．若正项级数收敛，则．错误。例如级数收敛，但4)．函数项级数在区间上一致收敛。正确。因为，而正数项级数收

3、敛。4（12分）．评分：每问6分（答案4分，证明2分）。1）已知级数，都收敛，能否断定级数收敛？若能，证明之；若不能，举出反例。能。因为级数，都收敛，所以级数收敛，且。记级数的部分和数列为。因为收敛，所以存在。因为，所以存在且，所以存在，级数收敛。2）已知级数收敛，能否断定级数，都收敛？若能，证明之；若不能，举出反例。不能。例如级数收敛，但，发散。5（12分）．求级数的收敛域及其和函数。解，所以收敛半径……………………………………………….2在端点上，收敛,……………………………………………………………..1收敛，……………………………

4、……………………………..1所以收敛域为。记，则当时，。。，。……………………………..6由连续性，..................................................................16（10分）．设函数以为周期，在区间可积，，是的Fourier系数，求函数（是常数）的Fourier系数。解，。……………………………1记函数的Fourier系数为，则，…………………….3变量置换：。因为都以为周期，所以………………………………………………..3同理………………………………………………..

5、37（10分）．设，讨论广义积分的敛散性，其中是自然数。解当时收敛，当时发散。..3若，，广义积分发散，从而广义积分发散。………………3若，则函数没有奇点,收敛当且仅当收敛。……………………………..3总之，当且时广义积分收敛，其他情形发散。………………………………………………….……………………….18（8分）．（二选一）1）设不是的整数倍，证明数列发散。证明因为所以假设数列收敛，记则展开：所以数列也收敛。记则即再将展开：两边取极限：即从而有代入（1），在恒等式两边取极限：矛盾！1）设（n=1，2，…），证明级数收敛的充要条件是数列{

6、}收敛。证明由递推公式易知，，。…………………………11）设数列收敛，则。因为，所以级数与同敛散。故我们只要证明收敛。，所以前项和。因为存在，所以存在，所以存在，即级数收敛，从而收敛。……….52）设级数收敛。因为，所以，级数收敛。因为，从而，，所以，存在，数列收敛。……………………………………………..4