华工高数作业本第八章答案.pdf

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1、院系班级姓名作业编号第八章重积分作业9二重积分的概念与性质1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：23（1）∫∫()xy+dσ与∫∫()xy+dσDD(a)D是由直线x=,0y=0及x+y=1所围成的闭区域；22(b)D是由圆周(x−)2+(y−)1=2所围成的闭区域．232解：(a)因为在区域内部有x++yxy)，从而∫∫()xy+dσ大D233(b)因为在区域内部有x+>yx1,()(+<+yxy)，从而∫∫()xy+dσ大Dxy2xy（2）∫∫edσ与∫∫edσDD(a)D是矩形闭区域：0≤x≤0,1≤y≤1；(b)

2、D是矩形闭区域：−1≤x≤0,0≤y≤1．xy2xy2xy解：(a)因为在区域内部有02<>xyxy,1>>>ee0，从而∫∫edσ大D2（3）∫∫∫ln(1+++xyzv)d与∫∫∫ln(1+++xyzv)d，其中Ω是由三个坐标面与ΩΩ平面x+y+z=1所围成的闭区域．解：因为在区域内部有11<+++<<

3、作业册2．利用积分的性质，估计下列各积分的值：（1）Ix=+∫∫y()xydσ，其中D是矩形闭区域：0≤x≤0,1≤y≤1；D解：因为在区域内部有1()2<+

4、sin=+2sin⎜⎟t≤2，⎝⎠4sL()=2π，因此−<22πI<22π122（4）I=dS，其中Σ为柱面x+y=1被平面z=,0z=1所截下∫∫222xyz++Σ的部分．11解：因为在曲面上积分，从而≤≤1，S(Σ=)2π，2222xyz++因此π<

5、,D11x11区域D也可以分块表示为：≤yxy≤≤≤≤≤≤≤1,3;13,yx33y1333从而∫∫f(,)dxyσ=+∫dy∫fxydx(),∫∫dyfxydx(),Dy1113y22（2）环形闭区域：1≤x+y≤4．22解：在极坐标下环形闭区域1≤x+y≤4为12≤r≤≤≤,02θπ22π从而∫∫f(,)dxyσθ=∫d∫fr()cos,sinθθrrdrD0122在直角坐标下环形闭区域1≤x+y≤4需分块表达，分块积分变为2222−−14xxx11−−14−24−xI=++∫∫dxfxydy(),,∫∫dxfxydy()∫∫∫∫dxfdy+

6、dxfdy−−−211−−441xxx22−−−21−−4x22．改换下列二次积分的积分次序（填空）：4x22y（1）d(yfx,yx)d=dxfxydy,；∫∫0y2∫∫()0x22111+−y222xx−（2）∫∫12d(x−xfxyy,)d=∫∫dyfxydx(),；02−y23−x12yy33−（3）∫∫00d(yfx,yxyfx)dd(+∫∫10,yx)d=∫∫dxfxydy(),．0x23．画出积分区域，并计算下列二重积分：2（1）∫∫xydσ，其中D是由两条抛物线y=x,y=x所围成的闭区域；D3《高等数学》同步作业册111x311

7、522xx⎛⎞⎛4434⎞6解：作图，原式=∫∫dxxydy=−=−∫⎜⎟⎜xxdxx⎟=00x233⎝⎠⎝115⎠055xy+（2）∫∫edσ，其中D是由x+y≤1所确定的闭区域；D01+−xx11xy++xy1解：作图，原式=∫∫dxedy+=∫∫dxedye−e−−11xx−01−22（3）∫∫()xy−dσ，其中D是由不等式0s≤yxx≤≤in,0≤π所围成的闭区域；Dππsinx2221932解：作图，原式=∫∫dx()(x−=ydy∫xsinsx−inxdx)=π−434000（4）∫∫xxycos(+)dσ，其中D是顶点分别为(0,

8、0),(π,0),(π,π)的三角形闭区域．Dππx3解：作图，原式=∫∫xdxcos(x+=ydy)∫x(sin2x−sin)xdx=