高数部分答案.pdf

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1、第2章极限与连续1．证明limxa0,数列{}x中只有有限项在的邻域之外annn证：limxan0,N，使得>时

2、-Nxa

3、<nnn0,N，数列{}xNa中只可能在前项中的有限项在的邻域之外n22．用数列极限定义证明lim(n1n)0n11211证：0,N,当时nN

4、nn1

5、22nn21nN23．对于数列{}x，若xa()kxa,(k)，证明xa()nn21kk2n证：由条件知0,K

6、K,，当kK时

7、

8、xa，当kK时

9、

10、xa，12121k22k所以NKmax{21,2K}，当nN时，

11、

12、xa12nn14．求极限limn2k1nknnnn1n1解：证法1：1，即1nn22k1nkn21n1k1nk210,N，使得nN时，2n111n1，即lim1，由迫敛性，nn12nnn1(1)2Nnn1n1lim1n2k1nk2证法二：0,N，使得nN时，nnn111k11

13、1，kkk111nk22nknnnnknnk2()222N所以所求极限为1.5．设x6，xx6，n，证明数列{}x的极限存在，并求其极限.1nn1n解：由x6，xx6，则x0，因此当n2时，1nn122xxx6(2)(x3)nnnnxxxx6，即n2时，如03x，nn1nn2x66xxxnnnn2数列{x}是单调增的正项数列，故当n3时xx66x，即xx6，nnn1nnn即(2xx)(3)0，解得当n

14、3时，x3，即数列有上界，根据有上界的单调增数nnn22列的极限存在，设limxa，对等式xx6两边取极限，得aa6解得a3nn+1nn（舍去负的解a2），n2时，如x3，数列{x}是严格单调减的正项数列，且数列有下界，根据有下界的单2n22调增数列的极限存在，设limxa，对等式xx6两边取极限，得aa6解nn+1nn得a3.综合得所求极限为3.6．计算下列极限：n(2k1)k1（1）lim2nnn(2k1)2nk1解：limlimlim1122nn

15、nnnnn142（2）limnnn343n42nn14(1/2)n4lim(1/2)4n解：limlimnnnnnn3433(3/4)3lim(3/4)3n22（3）lim(n1nn)n221n11/n1解：lim(nn1n)limlimnnnn221nn11/nn211/2nn1（4）limnn2nnn111/(1)1解：limlimn1nnnn

16、2(11/(1))e7．用函数极限的定义证明：2（1）limx312x3证：0，1，/7，当

17、3x

18、时，22

19、3xx12

20、

21、9

22、

23、(3x)(x3)

24、722xx（2）lim22xx11证：0，X2，当

25、

26、xX时，2221xxxx212.222xx11x4

27、x2

28、

29、x

30、28.求下列极限：2x1（1）limx3x22x191解:lim10x3x2322xx32(2)lim2x2x

31、42xx32(2xx)(1)x1211解limlimlim2xxx222xx4(2)(x2)2x2243252xxx(3)lim3x043xx32252xxx521xx1解:limlim32xx0043xx43x323(4)lim12xxx23解:lim110012xxx3243xx(5)lim4x52xx3243xx143(1/x)143(1/x)4解:limlimlimlim00433

32、xx5xx2x52(1/)xxxx52(1/)x53242xx1(6)lim3x532xx3212421xx42xx4解:limlim323xx532xx532xx513(7)lim3x111xx