北大版高数答案.pdf

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1、习题1.11.证明3.为无理数2pp222证若3不是无理数,则3,,pq为互素自然数.3,p3.3q除尽p,2qq2222必除尽否则p,p3k1或p3k2.p9k6k1,p9k12k4,3除22222p将余故1.p3,9kk3,qq3,k类似得除尽与3q.pq,互素矛盾.2.设是正的素数证明pp,.是无理数2aa222证设p,,ab为互素自然数,则p,apb,素数除尽pa,,故除尽pa2bb22222apkpk.pbpk,b.类似得除尽此与pb.ab,为互素自然数矛盾.3.解下列不等式:2(1)

2、

3、

4、

5、xx1

6、3.;(2)

7、x3

8、2.解(1)若则x0,x1x3,2x2,x1,(1,0);若则0x1,x1x3,13,(0,1);若则x1,xx13,x3/2,(1,3/2).X(1,0)(0,1)(1,3/2).222(2)2x32,1x5,1

9、

10、x5,1

11、

12、x5,x(1,5)(5,1).4.设ab,为任意实数,(1)证明

13、ab

14、

15、

16、

17、

18、;(2)ab设

19、ab

20、1,证明

21、

22、

23、

24、1.ab证(1)

25、

26、

27、aab(b)

28、

29、ab

30、

31、

32、b

33、

34、ab

35、

36、

37、,

38、bab

39、

40、

41、

42、

43、.ab(2)

44、

45、

46、ab(ab)

47、

48、

49、

50、bab

51、

52、b

53、1.5.解下列不等式:(1)

54、x6

55、0.1;(2)

56、xa

57、l.解(1)x60.1或或x60.1.x5.9x6.1.X(,6.1)(5.9,).(2)若l0,X(al,)(,al);若l0,xa;若l0,X(,).na16.若a1,证明0a1,其中为自然数n.nnnnnnnn12证若a1,显然ab1.a1a1(a1)(bb

58、1)n(a1).7.设(,)ab为任意一个开区间证明,(,)ab中必有有理数.n证取自然数满足n1/10ba.考虑有理数集合mAA={

59、mZ}.若则A(,)ab,ABCB,A{

60、xxb},nnn10nnCA{

61、xxaB}.中有最小数m/10,(m1)/10C,00nnnbam/10(-=m1)/101/10,此与的选取矛盾.n008.设(,)ab为任意一个开区间证明,(,)ab中必有无理数.nm证取自然数满足n1/10ba.考虑无理数集合A{2

62、mZ}.以下仿8题.nn10习题1.2

63、-1-13.证明函数y1xx在(1,)内是有界函数.(1xx)(1xx)11证y1xx(x1).1xx1xx21642xxx13.研究函数y在(,)内是否有界.61x6426426xxxxxx3x解

64、

65、1xx时,3,

66、

67、1,时3,66611xxx

68、

69、yy3,x(,).习题1.41.直接用-说法证明下列各极限等式:22xa(1)limxaa(0);(2)limxa;(3)limee;(4)limcosxcos.axaxaxaxa

70、

71、-

72、xa

73、-

74、xa

75、-

76、xa证(1)0,要使

77、xa

78、,由于,xaxaa

79、

80、xa只需,

81、xa

82、a.取a,则当

83、xa

84、时,

85、xa

86、,故limxa.axa22(2)0,不妨设

87、xa

88、1.要使

89、xa

90、

91、xaxa

92、

93、

94、,由于

95、xa

96、

97、xa

98、

99、2

100、1

101、2

102、,aa只需(1

103、2

104、)

105、axa

106、,

107、xa

108、.取min{,1},则当

109、xa

110、时,1

111、2

112、aa1

113、2

114、2222

115、xa

116、,故limxa.xaxaaxaxaxa(3)

117、0,设xa.要使

118、ee

119、ee(1),即0(e1),1e1,aaeexa0xaln1,取min{,1},则当0xa时,

120、ee

121、,aea1

122、2

123、xaxaxa故limee.类似证limee.故limee.xaxaxaxaxaxaxa(4)0,要使

124、cosxcos

125、2sinasin2sinsin

126、xa

127、,2222取,则当

128、xa

129、时,

130、cosxcosa

131、,故limcosxacos.xa2.设lim()fxl,证明存在的

132、一个空心邻域a(a,)a(,aa),使得函数ufx()在xa该邻域内使有界函数.证对于1,存在0,使得当0

133、-

134、xa时,

135、()fxl

136、1,从而

137、(