北大版高数第十章总结2

《北大版高数第十章总结2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、柯西收敛原理与数项级数的概念1.柯西收敛原理（判断序列是否收敛）：定理1设是一个序列，则有极限的充要条件是：对于任意给定的,都存在N，使得<，只要nN，mN.定理2：设y=f(x)在a的一个空心领域内有定义，则y=f(x)当xa时有极限的充要条件是：对于任意给定的，存在一个,只要与满足以下的条件：.2.数项级数及其敛散性的概念。无穷级数收敛的必要条件是要其通项趋向于零，也即（当k），但要注意，只是必要条件；穷级数收敛的充要条件是要对于任意给定的，存在一个N使得,只要nN，p1，即是余项无穷小，趋近于零。最经典就是是一个通项趋近于零但是却是发散的无穷级数。证明调和级数发

2、散.(注意)证明:假设级数收敛于,于是.而那么,矛盾.故调和级数发散.但是却是收敛的，其证明用到了余项趋向零的性质。其本质是由于通项趋向于零的速度较慢，而较快，因此他们的余项收敛速度也不同。讨论级数的收敛性.解:①若由于级数发散.②若由于,那么,可见有界级数收敛.总之,级数收敛.讨论等比级数(几何级数)的收敛性.级数收敛,级数发散；(2)级数发散；(3)级数发散二、收敛级数的基本性质以下假设与收敛于与,则1、,(为常数)2、3、收敛对任意的非负整数,有收敛.即:在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性.4、若,则将级数的项任意加括号后所成的级数.反之不然.5、若收

3、敛,则.反之不然.(级数收敛的必要条件)第二节正项级数的审敛法定理1:正项级数收敛有界.此时定理2(比较判别法):设与均为正项级数,且,,则(1)收敛收敛;(2)发散发散.推论若从项以后恒有:,(为常数),则定理2结论仍成立.本质：由于C是任意常数，因此可以得出是无穷小量，则是任何时候都比大。定理3(比较判别法的极限形式):设与均为正项级数,若，则(1)当时,若收敛,则也收敛；（意味着是同阶）(2)当时,若发散,则也发散.（意味是无穷小量，则是无穷大。）推论(极限法):设为正项级数,且,(1)当,时,级数收敛;(2)当,时,级数发散.判别级数的敛散性.判别级数的敛散性

4、.定理4(比值判别法,达朗贝尔判别法):设为正项级数,若,则(1)时,级数收敛；(2)或时,级数发散；(3)时,级数可能收敛也可能发散.可以用来证明调和级数发散，却是收敛的。求.定理5(根式判别法,柯西判别法):设为正项级数,若，则(1)时,级数收敛；(2)或时,级数发散；(3)时,级数可能收敛也可能发散.*注意，每个公式都可以用作为通项的无穷级数作为验证特殊的例子！定理6设为正项级数，若存在一个单调下降的非负函数f(x)(x),使得，则级数收敛的充分必要条件为无穷积分收敛。（由积分的几何意义就可以知道）第三节任意项级数的绝对收敛与条件收敛(莱布尼茨定理):设为交错级

5、数,若满足(1),；(2),则收敛,且级数和,其余项的绝对值.（我们可以将不是正负相邻，我们就将负的跟正的分别用括号括起来合成一项变成新的数列，要注意这是对于趋于零的交错级数才可以用，否则不可以用，如）二、绝对收敛与条件收敛(1)绝对收敛的级数：收敛；(2)条件收敛的级数：发散,但收敛.定理1:收敛收敛.反之不然.*说明:设或,（也用于计算收敛半径）(1)若,收敛.(2)若,发散.例题1：讨论级数(a为常数)何时绝对收敛，何时发散。（提示讨论a=1,-1与）例题2：判别级数的敛散性.例题：讨论级数（a为常数）何时绝对收敛，何时发散。命题2：收敛的正项级数经过重排之后依

6、然收敛且其和不变。（与上面的绝对收敛的重排后仍然收敛的道理一样）定理3：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和(即绝对收敛具有可交换性).注意：(1)条件收敛级数不具有交换性（交错级数）；(2)条件收敛级数经适当改变项的位置后构成的级数可收敛到任一指定的实数！定理5：(狄利克雷判别法)考虑级数。若序列单调且，又级数的部分和序列有界，即存在常数M>0，使得则级数收敛。定理6（阿贝尔判别法）：若无穷数列单调且有界而级数收敛，则级数收敛。例题：设无穷序列单调下降且，讨论级数的敛散性。（一个重要推论：k=1nbk=coskφ=1sinφ2(cosφ

7、sinφ2+cos2φsinφ2+…+cosnφsinφ2,k=1nbk=sinkφ=12sinφ2(2sinφsinφ2+2sin2φsinφ2+…+2sinnφsinφ2,最后k=1nbk≤2)例题：级数n=1∞sinnφn是否绝对收敛？（sinnφn≥sinn2φn=1-cos2nφ2n=12n-cos2nφ2n）*狄氏判别法或阿贝尔判别法可以判断条件收敛的级数，他们的作用不可能用正项级数的比较判别法所替代第四节函数项级数我们把能够找到一个只依赖于ε而不依赖于x的N的收敛序列，称作一致收敛序列。定义设函数序列fn(x)在集合X上收敛于极限函数f