高数积分总结(2)

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1、高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作。性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则。性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则。2、换元积分法(1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有

2、原函数，可导，则有换元公式。例：求解将代入，既得(2)第二类换元法：定理2：设是单调的、可导的函数，并且又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数。例：求解∵，设，那么，于是∴∵，且∴，3、分部积分法定义：设函数及具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为移项得对这个等式两边求不定积分，得此公式为分部积分公式。例：求解∴分部积分的顺序：反对幂三指。4、有理函数的积分例：求解∵，故设其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得即比较上式两端同次幂的系数，既有从而解得于是其他有些函数可以化做有理函数。5、积分表的

3、查询二、定积分1、定积分的定义和性质（1）定义：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成n个小区间各个小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和记，如果不论对怎么划分，也不论在小区间上点怎么选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分)，记作，即其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。定理1：设在区间上连续，则在上可积。定理2：设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。（2

4、）性质1：性质2：(k是常数)性质3：设，则性质4：如果在区间上，则性质5：如果在区间上，，则推论1：如果在区间上，，则推论2：性质6：设M及m分别是函数在区间上的最大值和最小值，则性质7(定积分中值定理)：如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一个点，使下式成立2、微积分基本公式(1)积分上限函数及其导数定理1：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数定理2：如果函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数。(2)牛顿-莱布尼茨公式定理3：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则

5、3、定积分的换元法和分部积分法(1)定积分的换元法定理：二、多元函数微分三、重积分四、曲面和曲线积分