北大版高数答案微分中值定理与Taylor公式

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1、课后答案网www.khdaw.com18.设函数fx()在(−∞+∞,)内可导且,ab,是方程fx()=0的两个实根证明方程.fxfx()+=′()0(,)在ab内至少有一个实根.x证设g(x)=efxgagb(),()==()0,g在[,]ab连续,在(,)ab可导),.x根据Rolle定理,存在c(a,b),使得∈=gxefxfx′′′()(()+())0,=即fxfx()+()0.=43219.决定常数的范围,使方程Ax3−−++8xxxA624有四个不相等的实根.43232解Px()=−−+3x8x

2、6x24,xPx′()12=−−+x24x12x243222=−−12(xxx2+2)12[=−xx(2)(−x−2)]12(=−−xx2)(1)12(=−−+xxx2)(1)(1)=0,.xxxP=−1,=1,=2.()xPP=−19,(1)13,(2)==8.1231根据这些数据画图，由图易知当在区间((−P1),−=P(2))(13,8)−−时4323862xxxxA−−++4有四个不相等的实根.23nxxnx20.()1设fx=−+−++−xL(1).证明方程:fx()0=当为奇数时有一个n23n实

3、根当为偶数时无实根,.n证当xf≤>0()0时xf,故只有正根当,nk=21−为奇数时,lim(),fx=+∞x→−∞lim()fx=−∞,存在ababfa,,<,()0,()0.>fb0(0),当x>0,时f严格单调递减故,−−x1实根唯一.2k22k−1−+x1当nk=−21为偶数时,f(x)=′+xx−+L+x==0,x=1.−−x101<

4、<>0,1,(xfx)>0,(1)0是>时的最小值,f(1)>0,故当为偶数n时fx()无实根.21.设函数uxvx()()与以及它们的导函数uxvx′′()与()在区间[,abu],上都连续且v′′−uv在[,]ab上恒不等于零证明.uxvx()()在的相邻根之间必有一根反之也对即有,.uxvx()(与)的根互相交错地出现试句举处满足上述条件的.uxvx()().与课后答案网www.khdaw.com证设x,(xux是)[的在ab,]的两个根,xx<.由于u′vu−≠vvx′0,()≠0,vx()≠0.(

5、如果vx)在121212u[,]xx上没有根则=在,w[,]ab连续,()()0,Rollewx==wx由定理存在,cxx∈[,],使得121212vuvuv′′−wc′′()==()0,c即(uvuvc−′)()0,=−此与uvuv′′恒不等于零的假设矛盾.故v(x)2v在上[,]xx有根.12例如ux==cos(),vxsin,u′′v-uv=-10,sincos≠xx的根交错出现.arctanxπ22.证明当:x>=0时函数fx()单调递增且′,arctanx<(tanh).xtanhx2tanhxx

6、arctan′−2⎛⎞arctanx1c+xx22oshsinhcoshxxx−+(1)arctanx证fx′()==⎜⎟=2222⎝⎠tanhxxxtanh(1+)tanhxcoshx12sinh2xx−+(1)arctanx2gx()==.222222(1+xxx)tanhcosh(1+xxx)tanhcoshg(0)=0.gx′′()cosh212arctan,(0)0,=−x−xxg=2xgx′′()=−−2sinh2x2arctanx,g′′(0)=0,21+x2222(1+−x)2xx22(1−

7、)gx′′′()4cosh2=−x−2×=−4cosh2x−22221(++x1xx)1+1+x244x=−4cosh2xx+>0(当时>0coshx>1),2211++xx由Taylor公式,对于x>0有gx()θ3gx()=>>x0,()0,fx′f严格单调递增.3!arctanxxππarctanlimfx()==>

8、,22f′()xxxxxxxxxx=+−costansinsec2=sin+−sinsec2,22fx′′()=++cosxsecx2sinsecxxxtan−2=+−(cosxsecx2)2sin+xxsec−2>01(cosxxx+=+≥∈seccos2,x(0,/2)).πcosxff(0)==′(0)0,T根据aylor公式,fx′′()θ22xtanxfx()=>−x0,sintanxxx>0,<(x∈