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1、20(2009年第8期#高中版)#试题赏析#一道高考填空题的几个思维层次163316大庆实验中学侯典峰姜本超22题目:已知AC,BD为圆O:x+y=4的两条相互垂AC,BD的距离分别为d1,d2d1,d2 ,如图2所示.直的弦,垂足为M1,2,则四边形ABCD的面积的最易知直线AC的方程为y-2=kx-1,即kx-y-大值为1k+2=0,这是2009年普通高等学校招生统一考试全国Ò卷22k-2AC2k-2则d1=,=4-d1=4-2=理科数学第16题,此题构思匠心独具,命题角度新颖、1+k241+k独特,内容丰
2、富,有较为深刻的内涵1题目以直线与圆23k+22k+2,的方程为载体,以求圆内接四边形面积最大值为切入1+k2点,重点考查考生数学基本知识、数学方法、数学思想的2243k+22k+2AC=2,同理可知直线BD的方掌握情况,考查学生观察、分析、联想、归纳等思维能力,1+k考查分析问题和解决问题的综合能力,有一定的难度.1+2由于不同程度的考生可以根据自己的实际情况,灵活选11k程为x+y--2=0,d2=,kk1+k2择问题的解决方法,而思维量的多少、方法的繁简、计算量的大小等方面的因素又引发解题所需时间的差异、结
3、32242-+2果正确与否1因此,它还有相当好的区分度,真正起到BD2=kk,1了小题把关、压轴区分的作用.可以说,此题是一道凝结1+2k着命题专家们的智慧、可圈可点的好题,是2009年高考222AC#BD故S=试卷中一道亮丽的风景!4深入研究后发现,这道优秀的小题还有着非常大的232243k+22k+22-+2教学价值,它是训练学生思维的好材料,是培养学生创kk=新能力和探究精神的好载体,对于这道填空题的具体解1+k21+12k法与解答策略的研究也对高三解题训练教学与备考指211导等诸多方面工作有指导作用1下面
4、笔者将探究此题46k+2+22-k+5kk=,结果进行总结,希望能抛砖引玉,能给大家一些思考.21k++22层次一)))常规解法,锲而不舍k解法1设四边形ABCD的面积S.令1-k=t,则tIR,且k2+1=t2+2,2kk如图1所示,若直线AC,BD中2有一条直线的斜率不存在,则另一于是S2=46t+22t+17,2t+4条直线的斜率为0,不妨设直线BD26t+22t+17的斜率不存在,如图1所示,易知设y=2,则有t+4A-2,2,C2,2,AC=2y-6t-22t+4y-17=0,22,B1,-3,D1,3
5、,图1721易知当y=6时,t=IR,BD=23,此时S=#AC#422当yX6时,$=22-4y-64y-17BD=26.=-4y-25y-4 ,若直线AC,BD的斜率均存在,设直线AC的斜率为k,则直线解得4[y[25且yX6,41BD的斜率为-,设点O到直线2k图2从而可知16[S=4y[25,又26<5,所以S有最#试题赏析#(2009年第8期#高中版)21大值为5.又能回避分类讨论,可以说,此法降低问题难度,但直线点评上述解法为求解此类问题的通法,最后将面的参数方程对于大多数考生比较陌生,不会用.积的
6、最值问题转化为函数的最值问题,这样不但可以求层次三)))灵活转换,事半功倍出面积的最大值,还可以求出其最小值,考生对此思路解法3由已知可得定点M(1,2)到原点的距离为比较熟悉,但由于计算量相当大,对知识、方法综合运用3,若改变点M的位置而不改变与原点的距离,则面积的能力要求高,故很多考生在考场上均未能求出结果,的最大值为同一值,根据这样的思想得到如下解法1其实,即使在考场上做出其正确结果,势必要花很多时解:设两直线的交点是(0,3),则设直线的方程为间,也存在/隐含失分0的现象,得不偿失.1层次二)))引参求变
7、,拨云见日lAC:y=kx+3,lBD:y=-kx+31解法2设直线AC的直线参数方程为根据弦长公式易得x=1+tcosH,224k+1k+4(t为参数),
8、AC
9、=22,
10、BD
11、=22,y=2+tsinH,k+1k+122代入圆O方程x+y=4,得1S=
12、AC
13、#
14、BD
15、四边形ABCD22t+22sinH+2cosHt-1=0,224k+1+k+4设A1+tcosH,2+tsinH,22114k+1k+42=22#2[22=51k+1k+1k+1C1+t2cosH,2+t2sinH,当且仅当k=3-22或-3-
16、22时取得最大值1则可得t1+t2=-22sinH+2cosH,t1t2=-1,222点评此法通过找到实质相同的问题进行巧妙转进而AC=t1-t2=t1+t2-4t1t2换,极大地减小了计算量,尽管其过程不太严谨,但对于22=8sinH+4cosH+82sinHcosH+4考场上的考生求解只需求出结果的填空题来说,这是一=25+22sin2H-cos2H,个比较好的办法,
