一道高考不等式题的研究性学习_安振平.pdf

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1、教学2012年3月名师导航论坛一道高考不等式题的研究性学习筅陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平（特级教师）%a2a+2b%b2b+2c%c2c+2a≥2·+2·+2·-2010年浙江省数学高考自选模块试题里有这样一道最值问姨a+2b9姨b+2c9姨c+2a9题：a+b+ca2b2c23考题设正实数a、b、c满足abc≥1，求++a+2bb+2cc+2a2（a+b+c）a+b+c=-的最小值.33a2b2c2a+b+c容易探究知，当a=b=c=1时，++取得最小值=a+2bb+2cc+2a331，于是，问题就可以转化为：≥姨abc≥1.a2b2c2问

2、题1：设正实数a、b、c满足abc≥1，求证：故++≥1.a2b2c2a+2bb+2cc+2a++≥1.a+2bb+2cc+2a从以上的证明容易得知，调换分母里字母系数2的位置，或分析1：对实数x1、x2、x3和正数y1、y2、y3，应用柯西不等式，得者字母的排列，同样可得类似的不等式.问题2：设正实数a、b、c满足abc≥1，求证：x1%x2%x3%2（x+x+x）2=·姨y1+·姨y2+·姨y3222123姨%%%姨abc姨y1姨y2姨y3++≥1.2a+b2b+c2c+ax2x2x2123≤姨++（姨y1+y2+y3）.问题3：设正实数a、b、c满足a

3、bc≥1，求证：y1y2y3a2b2c2x2x2x2（x+x+x）2即123223++≥1.++≥（.*）b+2cc+2aa+2by1y2y3y1+y2+y3问题4：设正实数a、b、c满足abc≥1，求证：由此，变得如下解答.a2b2c2证明1：利用柯西不等式的变形（*）.三元均值不等式以及条++≥1.2b+c2c+a2a+b件abc≥1，得从该考题出发，人们很容易联想到如下常见的不等式a2b2c2（a+b+c）2++≥问题5：（1963年莫斯科竞赛题）设a、b、c是正实数，求证：a+2bb+2cc+2a（a+2b）+（b+2c）+（c+2a）abc3a+b

4、+c3++≥.=≥姨abc≥1.b+cc+aa+b23利用柯西不等式的变形（*），很容易证明此题.a2b2c2故++≥1.证明：3（ab+bc+ca）≤（a+b+c）2.a+2bb+2cc+2a2abcaa+2b所以++分析2：从取等号时a=b=c=1，知=，这样，便可“配b+cc+aa+ba+2b9a2b2c2凑项”，创造利用均值不等式的环境.=++ab+cabc+abca+bc证明2：应用二元均值不等式、三元均值不等式以及条件（a+b+c）2abc≥1，得≥（ab+ca）+（bc+ab）+（ca+bc）a2b2c23（a+b+c）2++=·a+2bb+2

5、cc+2a23（ab+bc+ca）222aa+2bbb+2ccc+2aa+b+c3（a+b+c）2=姨+姨+姨+姨+姨+姨-≥·a+2b9b+2c9c+2a932（a+b+c）2高中版43教学名师导航2012年3月论坛3a4b4c4=.=++2a3+a2b2b3+b2c2c3+c2a2（a2+b2+c2）2abc3故++≥.≥a3+a2b2+b3+b2c2+c3+c2a2b+cc+aa+b2（a2+b2+c2）2问题6：（1988年国际数学友谊赛题）设a、b、c是正实数，求证：=.a3+b3+c3+a2b2+b2c2+c2a2a2b2c2a+b+c++≥.b

6、+cc+aa+b2于是，要证明不等式（**），只需证明不等式十分有意思的是，《数学通报》2011年第4期的问题栏目的问（a2+b2+c2）23≥.a3+b3+c3+a2b2+b2c2+c2a22题2000题为：等价于2（a2+b2+c2）2≥3（a3+b3+c3）+3（a2b2+b2c2+c2a2）.问题7：设a、b、c是正实数，且a+b+c=1，求证：444222222333a2b2c21等价于2（a+b+c）+（ab+bc+ca）≥3（a+b+c）.++>.b+c2c+a2a+b22等价于2（a4+b4+c4）+（a2b2+b2c2+c2a2）≥（a+b

7、+c）（a3+b3+c3）.事实上，此题目的证明是十分容易的.等价于a4+b4+c4+（a2b2+b2c2+c2a2）≥a（3b+c）+b（3c+a）+c（3a+b）.证明：因为a、b、c是正实数，且a+b+c=1，所以a、b、c∈（0，1），（***）于是，有a2++≥=.于∑a（2a-b）（a-c）+1∑a（2b-c）2≥0，这显然成立.b+c2c+a2a+b2b+cc+aa+b222222a

8、bc1a2b2c23故2+2+2>.故++≥.b+c