三个不等式竞赛题的再探究_安振平

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1、2013年9月案例点评三个不等式竞赛题的再探究筅陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平（特级教师）问题1：（2003年美国数学奥林匹克题）设a，b，+，同样地，可以得出问题2和问题3的下界和上界 c∈R.试证：问题5：设a，b，+，且a+b+c=3，试证： c∈R（2a+b+c）（2b+c+a）（2c+a+b）222222a+9b+9c+92a2b2c+（b+c）++（c+a）++（a+b）+（b+c）+（c+a）+（a+b）≤8.3<++.2a2b2c222222222222问题2：（2006年北

2、方数学竞赛题）设a，b，+，且证明：所证不等式等价于 c∈Ra+b+c=3，试证：2a+92b+92c+922a+9b+92a2b+（3－a）+（3－b）++22222>3.（*）c+9+（3－c）222c+b+c（）+（）（）++c+a+a+b≤5.2222222a2b2c问题3：（1997年日本数学奥林匹克题）设a，b，+，c∈R构造函数（x）f=2x+9+（3－x）222x，0

3、+a）+a+b+（a+b－c）2+a+b）（22+c≥35.2>1.（**）x+9+（3－x）222x2222这三道不等式竞赛题均可以用切线方法证之，具体等价于2x（x－3）<0，对0

4、4：设a，b，+，试证： c∈Rc∈R（2a+b+c）2+（b+c）222a（2b+c+a）2++（c+a）+222b（2c+a+b）2>4.222c+（a+b）（b+c－a）2（b+c）+a22（c+a－b）2+（c+a）22+b（a+b－c）2+（a+b）<3.22+c证明：不妨设a+b+c=1，则所证不等式等价于十分有趣的是，这个不等式可以用割线方法来证明.证明：不妨设a+b+c=1，则所证不等式等价于（1+a）（1+b）（1+c）222+（1－a）+222af=构造函数（）x+（1－b）+（1－c

5、）+>4.22222b2c（）1+x2，取点（，），0x+1.（*）+（1－x）222x（1－2x）2<1.**（）（1－x）+x22等价于2x（x－1）<0，对0

6、成立.在（**）式里，取x=a，b，c，叠加，知（*）式成立 等价于3x（x－1）<0，对0a+b+c+3=4.2222222a2b2c高中版33