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《条件不等式的探究、再探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一个条件不等式探究的轨迹松江四中（201601）高吉全问题：已知a、b>0,J4d+b=l,求证：丄+->4ab上述简单的条件不等式，源于课木的习题，我们将从以下多方而对此作些广泛的探究：（1）探究本题的证题思路；（2）利用归纳、类比、联想的数学方法对本题作些推广与拓展（3）在条件不变的情况下，开放性地寻求本题的多重等价性结论，借此进一步作些探究.［点拨1］从下述几方面探索本题的证题思路：（1）分析探路，寻找解题突破口；（2）换元着手，伺机利用熟悉的公式、结论；（3）利川函数思想探求函数的值域.［探究1-1］（分析法）注意d、b>0Ha+b=,则丄+丄n
2、4o纟P>4<^>—>4<^ab<-abahab41=a+b>2y［ab=>4cibS丄=>«/?<—24・•・—ab［探究1・2］（换元法）•・•a、方〉0且a+h=11a+ba+hhalbaA/•-+-=+=2+-+->2+2=4abababab［探究1・3］（函数法）•/a>b〉0一Ela+〃=1=>0va<1111111二1—=1==Jaba-aa（l-a）_,_241,1设/（tz）=-（tz--）2+-.（044他）即:丄+丄14ab［点拨2］对原问题作出推广与拓展.首先注意到原问题的结论表明:两个和
3、为1的正数，它们的倒数和大或等于4;那么三个和为1的正数，它们的倒数和会有怎样的结果呢？四个和为1的正数呢？进一步，加个和为1的正数呢？［探究2-1］已知a、b、c>0Ha+b+c=,则丄+丄+->?,这个“？”一下子不易abc估计，注意到在解决原问题时，探究1-1与探究1・2都利用了两个止数和的均值不等式,那么类比地，本例是否可尝试利川三个正数和的均值不等式呢？a+/?+c.•.-+-+->3-3—>9，其中a=b=c=-时，等号成立abcVcihc3于是得到结论：若a、b、c>O,a+b+c=1,则-+-+->9abc［探究2-2］设a,>0(iwN
4、j,由原问题与探究2-1的结论表明：若a}+t/2=1,则—+—>4=211、Ii、2/甘+aa2a.n］1恥2…a{—a2=…=am——时,等号成立).m(1)a}a2若％+。2+。3=1，贝*J—+—+——>9=32（2）~%a2由（1）、（2）类比猜测，得：若。］+=1，贝"111n4~=16(3)_一a}a2角a4由(1).⑵.(3)归纳猜测，得:若4-a2+•••+am=1，贝ij—+—Hb—>m2(4)a5%其屮猜测（3）、（4）止确，事实上:r若ai>0(z=1>2、3^4)且Q］+皎+宓+。4=16Z.+a°++ciaI=4>4Ya}a
5、2a3a4・・I23仁忖2叽:.—+—+—4-—>4•45>16(其中％=a-,=a3=a4=丄吋,aia2a3a4yaAa2a3a4~4等号成立).2°若a.>0(z=K2^•••血)且a}+a2卜ain=1..._I=HL>也、^2.…d协=>I=>mm'忖2…5［点拨3］探究2・1、探究2-1,JIJ类比、归纳、论证的思路，对原问题的结论进行了推广与拓展，从元素个数变动的背景下,得到了一个一般性的结论；我们还可从元素次数变动的背呆下，开拓另一个探究的思路：既然两个和为1的止数，它们倒数的一次式的和大或等于4,那么它们倒数的二次式的和会有怎样的结果呢？
6、倒数的三次式的和呢?进一步，倒数的m次式的和呢？［探究3・1］已知①q＞0且①+Q—1,则（-）（丄尸+（丄尸＞8=23axa2由（1）.⑵归纳猜测，得:+（-）2＞?,这个“？”利用均值aa•・•1=a】+a。n2・Jq®=>a}a2S丄=>—!—n4=>2>8-__4a}a2a]a2于是得到结论：若、勺＞0且+勺=1，则（丄尸+（丄尸》8,其中-_6F,a2①=a,=丄时等号成立.-2［探究3・2］设①、勺＞0且5+也=1，由原问题与探究3・1的结论表明：°2>4=22(1)(2)［点拨4］探究2・1、2・2的着眼点是变动元素的个数，探究3・1、3・2
7、的着眼点是变动元素的次数，由此分别得到了原问题的推广结论.在此基础上，我们着眼丁•更大胆的探究思路：同步变动元素的个数和次数.探究方法是特例摸索、再归纳猜想、最后论证真伪.［探究4・1］设务・〉0（iwNj，由6/,+^2=!=>—+—>4,类比探究下述问题：若％+=1，贝°（）~+（）~+（）—?若山+©+如+。4=1，贝'J(―)3+(―)3+(―)3+(―)3?(2)・・aa25為若Q]+d°dFClm=1，则()"'1+(1+•—F(1>?(3)~6a2a.n利用均值不等式上述问题⑴、(2)、(3)易获解:1°当+6Z2+a3=1时：'■勺2+(
8、i)2+(^)2~3-〈盘=3'(vw?)2-33=272°当务+
