《论文_一个条件不等式的探究,再探究(定稿)》

《《论文_一个条件不等式的探究,再探究(定稿)》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、一个条件不等式的探究.再探究松江四中（201601）高吉全问题：已知a、b>0,且a+b=l,求证：丄+—>4上述简单的条件不等式，源于课本的习血，"我们将从以下多方面对此作些广泛的探究：（1）探究木题的证题思路；（2）利用归纳、类比、联想的数学方法对木题作些推广与拓展（3）在条件不变的情况下，开放性地寻求本题的多重等价性结论，借此进一步作些探究.［点拨1］从下述儿方而探索木题的证题思路：（1）分析探路，寻找解题突破口；（2）换元着手，伺机利用熟悉的公式、结论；（3）利用函数思想探求函数的值域.则—+->4<=>>4

2、<=>—>4<=>tz/?<丄［探究1・1］（勺析法）唏％、b>0I^a+h=},a.b7、9：=a+b>.••丄+丄n4匕幺=4fb［探究1-2］（猴兑去）Id、b>QIla+b=丨1a+ba+b-ba、小_=+=2+—+—>2+2［探究1・3］吗鹼^）・.輕、>0Aa+//=1=>0

3、）24易^：0

4、11—n4~=16山(1).(2).⑶归纳猜测，得：⑷5°3勺若4+勺+•••+cim=1,则F—+>m2其中猜测(3)、

5、(4)正确，事勺上鬥?1；・打耐6曲口52>舫紬割空24杯3丄〜良4]1411—①勺吗偽111—n4■416(其中％=aAa2a4ata2a3a4一——>420II11、”4/（a）［点拨2］对原曲题件出推广与拓展.首先注意到原问题的结论表明:两个和为1的正数，它们的倒数和人或等于4;那么三个和为1的正数，它们的倒数和会有怎样的结果呢？四个和为1的正数呢？进一步，加个和为1的正数呢？［探究2・1］己知a、b、c〉0且a+b+c=l,则丄+丄+丄》?,这个“？”一下子不易估计，注意到在解决原问题吋，探究与探究彳・2冷

6、利皿了两个正数和的均值不等式,那么类比地$木例是否可尝试利丿IJ三个正数和的均值不等式呢？d+/?+C1、a•••>Mabe=>>3.•.丄+—+—>—《矽,c其中a=b=c=时了等号成立于是得劉结僅结Q、挺隹>0,a+b+c=l,则-+-+->9［探究2-2］设勺〉0（沱平*）,山原问题与探究2-1的给论纟明f若+a2=1»则1>4=22（1）若a}+a2+=1a）贝*J^-+—4-—^―>9=32⑵(3)(4)=色=a4=丄时,4由（1）、（2）类比猜测，得別5他等号成立).2若％〉0(,=1、2、•••m)Fl

7、.ci}+ci9+•••+ci=1di+a，+・・・+e”i-1•・・十—=>冒一色=nm.•.丄+丄作・..+丄纟帰…5(=5乩场”=丄触等号成呦幻…％m［点拨3］探究2-1、探究2-1,用类比、归纳、论证的思路，对原问题的结论进行了推广与拓展，从元索个数变动的背景下，得到了一个一般性的结论；我们还可从元索次数变动的背呆下，开拓另一个探究的思路：既然两个和为1的正数，它们倒数的一次式的和大或等于4,那么它们倒数的二次式的和会有怎样的结果呢？倒数的三次式的和呢?进一步，倒数的m次式的和呢？［探究3-1］已短⑷a.>0

8、且①+禺=1,则(-)2+(-)2>?,这个"？”利用均值不等式易获解.・•・(―)2+(—)2>2-•・T纸+壯2・1_2aan——>4^a}a2-^->8%于是得到華论：若⑷、勺〉0且切+。2=1，贝U(丄)2+(—)2>8,其中⑷=©=丄时等号成立.⑷°2-2(1)(2)［探究3・2］设>0口4+d,=1,山原问题与探究3・1的结论表明：丄+丄>4=22_阻)2作(丄)2>8=23由“).(2)倂犁猜测，得:(―r4-(—)M>2W+I上述器测卩)丿曲萃实上：.―-—・・・(丄)”+(—y>2-=・・N

9、(如(肩•・(一)"+(—)(嗚瀏引，其中a】=a°=斤时，等号成立aa21-2［点拨4］探究2・1、2・2的着眼点是变动元素的个数，探究3・1、3・2的着眼点是变动元素的次数，由此分别得到了原问题的推广结论.在此基础上，我们着眼丁•更大胆的探究思路：同步变动元素的个数和次数.探究方法是特例摸索、再归纳猜想、最后论证真伪.［探究4-1］设at>0(zgTV*),Fhax+a2=1=>—4-—A4,类比探究下述问题：若a{+a2+a3=1,贝U(丄)2+(―)2+(-^)2(1)若a^a2^a3+a4=勺叫(丄孚+

10、(右岁+(丄尸+f_L)3>?(2)若山+°2+・・・+為=1，则(丄炉_+(主)心+竹•+(丄严》?(3)利用均值不等式，上述问题(1)、⑵、知)易获辘码“1°当％+。2+6=1时：一・・・也如师忑十C—^+C—)2+(—)2-=3^(.1-)2>33=272。当°岸匕，+疋牛為异时：如叽册尬3a2a3a4・・H如+—启石」>4113333=