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1、一个条件不等式的探究、再探究松江四中（201601）高吉全问题：已知d、b〉0,且。+方=1,求证：丄+丄14ab上述简单的条件不等式，源于课木的习题，我们将从以下多方面对此作些广泛的探究：（1）探究本题的证题思路；（2）利用归纳、类比、联想的数学方法对木题作些推广与拓展；（3）在条件不变的情况下，开放性地寻求木题的多重等价性结论，借此进一步作些探究.［点拨1］从下述几方面探索本题的证题思路：（1）分析探路，寻找解题突破口；（2）换元着手，伺机利用熟悉的公式、结论；（3）利用函数思想探求函数的值域.［探究1・1］（
2、分析法）注意a、Z?>0且。+方=1,则丄+丄》4u>巴旦>4<=>—>4<=>ab<-cibabab4'=a+b>2y［ab=>4ab<—^>ab<—24J+Scib［探究1-2］（换元法）vaxZ?>0且d+b=l11a+ba+b宀ba小小lbaA•••—+—=+=2+-+->2+2=4abababab［探究1・3］（函数法）•••a、b>0SLa+b==>044f（a
3、）即：-+->4ab［点拨2］对原问题作出推广与拓展.首先注意到原问题的结论表明:两个和为1的正数，它们的倒数和大或等于4;那么三个和为1的正数，它们的倒数和会有怎样的结果呢？四个和为1的正数呢？进一步，加个和为1的正数呢？［探究2・1］已知a、b、c〉0且d+b+c=l,则丄+丄+丄'?,这个“？”一下子不易abc估计，注意到在解决原问题时，探究1・1与探究1-2都利用了两个正数和的均值不等式,那么类比地，本例是否可尝试利用三个正数和的均值不等式呢？a+b+c""3>labc=>/1>3Vabc/.-+-+->
4、3«3l-L>9，其屮a=h=c=-^f等号成立abcvcibc3于是得到结论：若a、b、c〉O,a+b+c=l,则丄+丄+丄19abc［探究2・2］设勺>0（zeN*）,由原问题与探究2・1的结论表明：若⑷+0=1,则—+—>4=22(1)⑷a21119若+cz°+色=19贝U11»9=3~(2)〜一a}a2a3由⑴、(2)类比猜测，得：若Q
5、+a。+dg+=1,贝U111»4"=I6(3)Cl
6、Clr6Zndrti(i).(2).⑶归纳猜测，得：I119??a
7、+a。+•••+um—1，则—i—n加〜(4)a
8、a25其中猜测⑶、（4）正确,事实上:1若a：〉0(i=1、2、3、4)且a】+a2++a4=1丄丄+丄+丄%Cl^Cly。4>16(H屮=a2=a3%Q卫3Q4=a4=—时,4等号成立）.2若df>0(i=l、2^•••tn)且％++•••+cim=ICli++FClI・.•_!=也>吋a、cir…a/.1—nm•aa2ama?…％>m2%=禺=•••=afn=—时，等号成立)・m［点拨3］探究2・1、探究2・1,用类比、归纳、论证的思路，对原问题的结论进行了推广与拓展，从元素个数变动的背景下,得到了一个一般
9、性的结论；我们还可从元素次数变动的背景下，开拓另一个探究的思路：既然两个和为1的正数，它们倒数的一次式的和大或等于4,那么它们倒数的二次式的和会有怎样的结果呢？倒数的三次式的和呢?进一步，倒数的加次式的和呢？［探究3・1］已知①⑷>0且®+山=1,则（-）2+（-）2>?,这个“？”利用均值aa不等式易获解.•-（-）2+（丄）222•岳=丄ata2ya}a2I
10、2I=+«■>>2・Ja®=>axa；<—=>>4=>>8~~~4a}a2a}a2于是得到结论：若G］、血>0且G］+4=1,则（丄）'+（丄尸X8,其屮
11、~_aa2a}==—时等号成立.-2［探究3・2］设a】、a2>0且+a2=1,由原问题与探究3・1的结论表明:（1）（2）丄+丄%a2（―）2+（—）2>8=235a2由（1）.（2）归纳猜测，得：（丄）“+（丄）“曲a
12、ci°上述猜测（3）成立，事实上:•・・（丄）"+（丄）"》2・2（叩2尸>2n・・・（+/+（+）〃"，其中©勺2冷时，等号成立［点拨4］探究2・1、2・2的着眼点是变动元素的个数，探究3・1、3・2的着眼点是变动元素的次数，由此分别得到了原问题的推广结论.在此基础上，我们肴眼于更大朋的探究
13、思路：同步变动元素的个数和次数.探究方法是特例摸索、再归纳猜想、最示论证真伪.［探究4・1］设＞0(iwN)由切+勺=1=＞丄+丄＞4,类比探究下述问题：%a2若。]+勺+勺=1，贝U(丄)'+(―)2+(丄尸>?Q]°2°3若d]+。2+。3+。4=(2)则(丄)'+(―)3+(丄)3+(―)3>?a
14、a9a3a4若%+勺+…+4”=I，则(丄)+(丄)+
