解析几何中的思维变式--专业论文.doc

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1、解析几何中的思维变式张桂林解答解析几何习题，既耍考虑常规解法，也要注意运用其它思路，如逆向思维，极限思想，借助于平而儿何等等。本文列举数例，作以分析比较n1.逆向思维例1.过点A(-l,5),B(-4,2)的直线交直线/：x+3y—6=0于点M,求AM：MB。通常是先写出直线AB的方程，再求AB与/的交点M的坐标，从而求出比值。若运用逆向思维，先设AM：MB=X,用入表示点M的坐标，山点M在直线/上，即可求出入值。-425+22解：设AM：MB=X,则得M(,-—)1+21+2因为Mwl妙r以+3-6=01+Z1+2解得2=2故AM：MB=2例2•双曲线xy=a2的任一切线交x轴于点A,交y

2、轴于点B,O为原点，求证：△AOB的面积为定值。通常是先写出双曲线的任一切线的方程，求出A、B的坐标，再证得结论，当然可以,但过程较繁。若运用逆向思维，先设A、B的坐标，写出AB的方程。山AB与双曲线相切证得结论，则较为简便。证明：设A(m,0),B(0,n),则直线AB的方程为：—+^=1mn即nx+my-mn=0因为直线AB是双曲线xy=a2的切线，故nx+m-mn=0x即nx2一mnx+ma2=0的判别式△=()所以m'n?-4mna2=0因为mn工0所以mn=4a2故Saaob=^lmnl=2a2为定值。x2例3・若椭圆y+y2=a2(a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线

3、段没有公共点，求a的范围。通常是分两种情况考虑:(1)A、B两点都在椭圆外；(2)A、B两点都在椭圆内。若从反而考虑则可避免分情况讨论，计算简洁。解：先求椭圆和线段AB有公共点时的収值范围。易得线段AB的方程为：y=x+1,xe[l,3]X~22山方程纽•亍*=ay=x+1QQ7

4、得宀尹心+匕(x+5巧41O故a?在[1,3]内递增，且3时的值分别为a匕i^-0,所以^

5、。，y0),可得椭圆方程，并列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程。若按极限思想，将点圆、点椭圆视为圆、椭圆的极限情况，则川简化运算过程。知”=5b22S9将点P(--,-)看作长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系33V571c(x+-)2+-(y--)2=k,当kTO时的极限情形(点椭圆)，则与直线/：2x-y+3=O153相切于该点的椭圆系即为过直线I与“点椭圆”有公共点的椭圆系方程715(x+—)2+-(y--)2+2(2x一y+3)=0J■丿2又因为所求的椭圆过点(1,0),代入丄式得2=--3故所求椭圆方程为x2例5・过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P

6、、Q两点，若线段PF、FQ的长度分别是p,q,求丄+丄的值。pq通殆是先列出PQ的直线方程，求出直线PQ与抛物线的交点坐标，再根据两点间的距离公式求出p与q。若按极限思想,使直线PQ的斜率不存在,则直线就是抛物线的对称轴，此时P为顶点，Q在无穷远处，用极限的观点得PFT丄，FQ—>oc4a所以—->4a,丄一>0,丄+丄=4apqpq1.利用平面几何的有关知识例6・过点P(-1,2)作直线使点A(-3,4)和点B(1,-2)到/的距离相等，求/的方程。通常是先设/的方程为y-2=k(x+l)，再利用已知条件求出斜率k=-

7、，故/的方程为3x+2y-1=0。这样解，不仅计算量较大，而且漏掉了一

8、解。若通过思维变式，曲平面几何知识可知：/过线段AB的中点Q(-1,1)或〃/AB,从而较简便地求得/的方程。解：因为点A、B到/的距离相等，所以/或过线段AB的中点Q(-1,1)或〃/AB,于是/的方程为2+2x=-1或y-2=r一(x+1)—3—1即x=-l或3x+2y-1=0注：引用直线的斜率解题时,应注意斜率不存在,即直线乖直于x轴的情形，以免漏解或导致英它错误。例7・直线/：3x+4y+2=0交圆C：x?+y?+4y=0于A、B两点，求线段AB的垂直平分线的方程。通帘是先求出/与C的交点A、B的坐标，再写出线段AB的垂直平分线方程。若应用平面几何知识，则可知：过圆心O且垂直于/的直

9、线就是线段AB的垂直平分线，山此易求出英方程。解：过圆心0(0,—2)且垂直于/的直线就是线段AB的垂直平分线，故/的方程为20y=—x-23即4x-3y-6=0例&以原点O为顶点的定角0(0<0<扌)在坐标平而内绕点O旋转，角的两边分别交定直线x=3于点A、B,求AOAB的外心M的轨迹。通常是设A点坐标，求B点坐标，再写出两边的垂直平分线的方程，从血求出外心M的轨迹，显然过程较繁，计算量较大。若通过思维变式