解析几何中的思维变式.doc

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1、解析几何中的思维变式张桂林解答解析几何习题，既要考虑常规解法，也要注意运用其它思路，如逆向思维，极限思想，借助于平面几何等等。本文列举数例，作以分析比较。1.逆向思维例1.过点A（－1，5），B（－4，2）的直线交直线l：于点M，求AM：MB。通常是先写出直线AB的方程，再求AB与l的交点M的坐标，从而求出比值。若运用逆向思维，先设AM：MB＝λ，用λ表示点M的坐标，由点M在直线l上，即可求出λ值。解：设AM：MB＝λ，则得因为所以解得故AM：MB＝2例2.双曲线的任一切线交x轴于点A，交y轴于点B，O为原点，

2、求证：△AOB的面积为定值。通常是先写出双曲线的任一切线的方程，求出A、B的坐标，再证得结论，当然可以，但过程较繁。若运用逆向思维，先设A、B的坐标，写出AB的方程。由AB与双曲线相切证得结论，则较为简便。证明：设A（m，0），B（0，n），则直线AB的方程为：即因为直线AB是双曲线的切线，故即的判别式△＝0所以因为所以故为定值。例3.若椭圆与连结A（1，2），B（3，4）两点的线段没有公共点，求a的范围。通常是分两种情况考虑：（1）A、B两点都在椭圆外；（2）A、B两点都在椭圆内。若从反面考虑则可避免分情况讨

3、论，计算简洁。解：先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围。易得线段AB的方程为：由方程组得故a2在[1，3]内递增，且x＝1，3时的值分别为故因为a>0，所以故当椭圆与线段AB无公共点时2.极限思想例4.求已知离心率，过（1，0）点且与直线l：相切于点，长轴平行于y轴的椭圆方程。通常是设椭圆中心为（x0，y0），可得椭圆方程，并列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程。若按极限思想，将点圆、点椭圆视为圆、椭圆的极限情况，则可简化运算过程。解：由，知将点看作长轴平行于y轴且离心率的椭圆系，当时的极限情形（

4、点椭圆），则与直线l：相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”有公共点的椭圆系方程又因为所求的椭圆过点（1，0），代入上式得故所求椭圆方程为例5.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、FQ的长度分别是p，q，求的值。通常是先列出PQ的直线方程，求出直线PQ与抛物线的交点坐标，再根据两点间的距离公式求出p与q。若按极限思想，使直线PQ的斜率不存在，则直线就是抛物线的对称轴，此时P为顶点，Q在无穷远处，用极限的观点得所以3.利用平面几何的有关知识例6.过点P（－1，2）作直线l，使点A（－3，

5、4）和点B（1，－2）到l的距离相等，求l的方程。通常是先设l的方程为，再利用已知条件求出斜率，故l的方程为。这样解，不仅计算量较大，而且漏掉了一解。若通过思维变式，由平面几何知识可知：l过线段AB的中点Q（－1，1）或l//AB，从而较简便地求得l的方程。解：因为点A、B到l的距离相等，所以l或过线段AB的中点Q（－1，1）或l//AB，于是l的方程为或即或注：引用直线的斜率解题时，应注意斜率不存在，即直线垂直于x轴的情形，以免漏解或导致其它错误。例7.直线l：交圆C：于A、B两点，求线段AB的垂直平分线的方

6、程。通常是先求出l与C的交点A、B的坐标，再写出线段AB的垂直平分线方程。若应用平面几何知识，则可知：过圆心O且垂直于l的直线就是线段AB的垂直平分线，由此易求出其方程。解：过圆心O（0，－2）且垂直于l的直线就是线段AB的垂直平分线，故l的方程为即例8.以原点O为顶点的定角在坐标平面内绕点O旋转，角的两边分别交定直线l：x＝3于点A、B，求△OAB的外心M的轨迹。通常是设A点坐标，求B点坐标，再写出两边的垂直平分线的方程，从而求出外心M的轨迹，显然过程较繁，计算量较大。若通过思维变式，充分利用平面几何知识则易

7、得解。解：设△AOB的外心为M（x，y），AB的中点为D，因为∠AOB＝θ所以∠AMB＝2θ于是∠AMD＝θ因为所以点M在直线l的左侧，即x<3在Rt△AMD中又故即故△OAB的外心M的轨迹是这条双曲线的左支。上述八例都未采用“一般思路”，而是走了另外途径，结果减少了计算量，简化了过程，这启发我们思维要多元化。