【优化指导】2013高考数学总复习 12.1数学归纳法及其应用课件 人教版.ppt

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1、第一讲　数学归纳法及其应用考点考纲要求考查角度数学归纳法数学归纳法及其基本形式了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题用数学归纳法证明数列、不等式等问题一、归纳法由特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．归纳法包括不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法；而完全归纳法是一种在研究了所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法．二、数学归纳法对某些与正整数n有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题

2、成立，并证明当时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．取第一个值n0n＝k＋1用数学归纳法证明命题的一般步骤是：①证明当n取第一个值n0(例如n0＝1或2等)时结论正确；②假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确．在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．注意：(1)不完全归纳法只是猜测出一个数学结论，并没有给出严格的数学证明，因而不可靠；完全归纳法需要一一验证；而数学归纳法是一种严格的证明方法．用数学归纳法可以证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、三角恒等式、整除性问题及几何问题．(

3、2)不完全归纳法是从特殊出发，通过试验、观察、分析、综合，抽象概括出一般性结论的一种重要方法．运用不完全归纳法可以通过对数列前几项的计算、观察、分析，推测出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质，再利用数学归纳法证明其结论的正确性．(3)数列中的归纳——猜想——证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查，是近几年高考的热点之一．解决此类问题，需要从特殊入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律．(4)数学归纳法是一种适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．第二步中

4、，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．(5)在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意k→k＋1时命题中的项与项数的变化．解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.答案：D答案：C5．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝______；当n>4时，f(n)＝________.(用n表示)【题后总结】(1)数学归纳法与递推思想步骤(1)，当n＝n0时命题成立；步骤(2)，取

5、k＝n0，则n＝k＋1时命题也成立，由步骤(2)，取k＝n0＋1，则n＝k＋2时命题也成立；……由此递推断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．数学归纳法的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则会导致错误．(2)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求n＝k与n＝k＋1时之间的联系.已知函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足：0

6、1,2,3，….证明：00，先证0＜an＜1再证an＋1＜an.所以f(x)在(0,1)上是增函数，又f(x)在[0,1]上连续，从而f(0)

7、－an＝－sinan<0，所以an＋1g(k)，求证f(k＋1)>g(k＋1)．对这个条件不等式的证明，应注意灵活运用上述证明不等式的方法．对于较简单的命题，其基本格式为：f(k＋1)>f(k)＋A(k)>g(k)＋A(k)>g(k＋1)．证明：(1)①当m＝1时，原不等式成立；当m＝2时，

8、左边＝(1＋x)2，右边＝1＋2x，又∵x2≥0，∴左边≥右边，原不等式成立；②假设m＝k时，不等式成立，即