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1、【优化指导】2013高考数学总复习12.5导数的应用课时演练人教版1.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则( )A.a>-3 B.a<-3C.a>-D.a<-2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a,b,若a
2、常函数.又a0,则af(b)≤bf(a).答案:A3.若函数f(x)=,且0<x1<x2<1,设a=,b=,则a,b的大小关系是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a、b的大小不能确定解析:f′(x)=,令g(x)=xcosx-sinx,7则g′(x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx,∵0<x<1,∴g′(x)<0,即函数g(x)在(0,1)上是减函数,得g(x)<g(0)=0,故f′(x)<0,函数f(x)在(0,1)上是减函数,得a>b,故选A.答案:A4.已知函数f(x)的定义域为[-2,+∞)
3、,部分对应值如下表,f′(x)为f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是( )x-204f(x)1-11A.(,)B.(,)C.(,)D.(-,3)解析:由导函数的图象可知,原函数f(x)在区间[-2,0]上为单调递减函数,在区间(0,+∞)为单调递增函数,又f(-2)=1,f(0)=-1,f(4)=1,故-2<2a+b<4,而a,b均为正数,可得可行域如图中阴影部分,的几何意义是可行域内的点和(-3,-3)连线的斜率的取值范围,故取最大值时过点(0,4),此时为=,取最小值时过
4、点(2,0),此时为=,所以选B.答案:B5.函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是( )A.(-1,)B.(-1,4)C.(-1,2)D.(-1,2]解析:f(x)=3x-x3,f′(x)=3-3x2=-3(x-1)(x+1),函数在(-∞,-1)上为减函数,在[-1,1]上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,要使函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a满足⇒⇒-15、x)=.取函数f(x)=2-x-e-x,若对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),则( )A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1解析:对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),即等价于在(-∞,+∞)上,f(x)=2-x-e-x≤K恒成立.由f′(x)=e-x-1=0知x=0,所以x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)max=f(0)=1,即f(x)的值域是(-∞,1],而要使fK(x)=f(x)在R上恒成立,结合条件分别取不同的K值,6、可得D符合,此时fK(x)=f(x).故选D.答案:D7.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________.解析:f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当-<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,f(x)==,=<1,不合题意.∴f(x)max=f(1)==,a=-1.答案:-18.在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____7、_.解析:设点P(x0,ex0),则f′(x0)=ex0(x0>0).所以f(x)=ex(x>0)在P点的切线l的方程为y-ex0=ex0(x-x0).所以M(0,ex0-x0ex0).过P点的l的垂线方程为y-ex0=-(x-x0),所以N.所以2t=ex0-x0ex0+ex0+=2ex0-x0ex0+x0e-x0(x0>0).则(2t)′=2ex0-ex0-x0ex0+e-x0-x0e-x0=(1-x0)(ex0+e-x0).因为ex0+e-x0>0,7所以当1-x0>0,即00,2t在x0∈(0,1)上单调递增;8、当1-x0<0,即x0>1时,(2t)′<0,2t在x0∈(1,+∞)上单调递减.所以当x0=1时,2t有最大值e+,即t的最大值为.答案:9.已知函
5、x)=.取函数f(x)=2-x-e-x,若对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),则( )A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1解析:对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),即等价于在(-∞,+∞)上,f(x)=2-x-e-x≤K恒成立.由f′(x)=e-x-1=0知x=0,所以x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)max=f(0)=1,即f(x)的值域是(-∞,1],而要使fK(x)=f(x)在R上恒成立,结合条件分别取不同的K值,
6、可得D符合,此时fK(x)=f(x).故选D.答案:D7.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________.解析:f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当-<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,f(x)==,=<1,不合题意.∴f(x)max=f(1)==,a=-1.答案:-18.在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____
7、_.解析:设点P(x0,ex0),则f′(x0)=ex0(x0>0).所以f(x)=ex(x>0)在P点的切线l的方程为y-ex0=ex0(x-x0).所以M(0,ex0-x0ex0).过P点的l的垂线方程为y-ex0=-(x-x0),所以N.所以2t=ex0-x0ex0+ex0+=2ex0-x0ex0+x0e-x0(x0>0).则(2t)′=2ex0-ex0-x0ex0+e-x0-x0e-x0=(1-x0)(ex0+e-x0).因为ex0+e-x0>0,7所以当1-x0>0,即00,2t在x0∈(0,1)上单调递增;
8、当1-x0<0,即x0>1时,(2t)′<0,2t在x0∈(1,+∞)上单调递减.所以当x0=1时,2t有最大值e+,即t的最大值为.答案:9.已知函
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