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时间:2020-04-03
《2013高考数学复习课件 6.7 数学归纳法 理 新人教版.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)______________________________;(2)(归纳递推)____________________________________________________________.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做___________.证明当n取第一个值n0时命题成立假设n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时结论也成立数学归纳法A.1B.2C.
2、3D.0解析:第一步应为n=3.答案:CA.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:n=1时,左边为1+a+a2.答案:C答案D4.设函数f(n)=(2n+9)3n+1+9.当n∈N*时,若f(n)能被m整除,猜想m的最大值为()A.9B.18C.27D.36解析:因为f(1)=11×32+9=11×9+9=12×9,f(2)=(4+9)×33+9=13×33+9=40×9,故猜想m=36.答案:D在应用数学归纳法证明时:第一步:验证n=n0时,n0不一定为1,根据题设,有时可为2,3等.第二
3、步:证明n=k+1时命题也成立,一定要用n=k的假设结论,否则不是数学归纳法.考点一 证明等式问题【案例1】用数学归纳法证明:(即时巩固详解为教师用书独有)关键提示:注意证明n=k+1时,左右两边均产生变化.【即时巩固1】用数学归纳法证明:考点二 证明不等式问题【案例2】用数学归纳法证明:考点三 证明整除问题【案例3】用数学归纳法证明:f(n)=3·52n+1+23n+1(n∈N*)能被17整除.关键提示:用数学归纳法证明整除问题,由k过渡到k+1时常使用拼凑法.证明:(1)当n=1时,f(1)=3×53+2
4、4=391=17×23,故f(1)能被17整除,命题成立.(2)假设n=k(k≥1)时,命题成立.即f(k)=3·52k+1+23k+1能被17整除,则当n=k+1时,f(k+1)=3·52k+3+23k+4=52·3·52k+1+52·23k+1-52·23k+1+23·23k+1=25f(k)-17·23k+1,由归纳假设,可知f(k)能被17整除,又17·23k+1显然可被17整除,故f(k+1)能被17整除.由(1)(2)可知,对任意正整数n,f(n)能被17整除.【即时巩固3】用数学归纳法证明:n为
5、正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证明:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即x2-y2能被x+y整除,显然命题成立.(2)假设n=2k(k∈N*)时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)=x2(x2k-y2k)+y2k(x+y)(x-y).因为x2(x2k-y2k)、y2k(x+y)(x-y)都能被x+y整除,所以x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即n=2k+2时命
6、题成立.综合(1)(2)可知,n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.考点四 归纳——猜想——证明【案例4】设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….(1)求S1,S2;(2)猜想并证明Sn的表达式,求{an}的通项公式.解:(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,【即时巩固4】由下列各式:
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