资源描述：
《量子力学课件.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章力学量的算符理论§4.1算符、本征值与本征函数第四章力学量的算符理论一、力学量与算符问题：已知状态波函数ψ，如何获得体系力学量（能量、1、算符：作用在一个函数上，得到另一个函数的运算符号。∧动量、角动量等）的信息？Fψ=φ对已知波函数进行运算(1)[()]2()fx=gx平方算符对算符进行作用df(x)d(2)=g(x),是微商算符（1）力学量和算符有什么关系？dxdxxf(x)=g(x),x也是算符，作用是用x相乘（2）如何利用算符计算力学量？∧h2∧三维情形下，Fˆ=−ih∇(3)H=−∇2+U,H是哈密顿算符22m∧r∂r∂r∂Hψ=Eψ−ih∇ψ=−ih[i+j+k]ψ∂
2、x∂y∂z（4）Fˆ=ih∂rr1i(k⋅r−ωt)∂t自由粒子的波函数：ψ(r,t)=Aerri(k⋅r−ωt)rr自由粒子的波函数：ψ(r,t)=Ae=Aei(p⋅r−Et)/hrr=Aei(p⋅r−Et)/hrrrrr−ih∇ψ=−ih[iik+jik+kik]ψ=hkψ=pψxyzˆ∂（5）F2=−ih∂x−ih∇ψ=pψ,−ih∇→动量算符∧∧∧(6)定义r=r为坐标算符，一维情形下为：xˆ=x归纳：r=rp=−ih∇rˆψ=r⋅ψrˆ也是算符，作用是用r相乘∧h2∧2H=−∇+V(r)V=V(r)2m(7)定义Vˆ(r)=V(r)为势能算符h2p2h2^22−∇ψ=ψ,−∇
3、→动能算符TVˆ(r)ψ=V(r)⋅ψ2m2m2m[推广]量子力学中任何力学量都有与之对应的算符^^222h2(−ih∇)(p)动能：T=−∇==2m2m2m可见，量子力学中波函数所具有的力学量可通过运可见，量子力学中波函数所具有的力学量可通过运2p算而得出，而这种运算可用算符来表示。即：算而得出，而这种运算可用算符来表示。即：量子力学量子力学T=2m中，力学量是用算符表示的。中，力学量是用算符表示的。1基本假设：x=rsinθ⋅cosϕ,z对于每个表示为粒子的位置和动量的函数的力学y=rsinθ⋅sinϕ,rv量F(r,p)，对应着一个量子力学的算符Fˆ，它是用−ih∇z=rcosθ
4、,θrr代替p而得到的，即2222yr=x+y+z,ϕ∧rzyF=F(r,p)=F(r,−ih∇)cosθ=,tanϕ=,xrx球坐标ˆ∂ijk可得L=−ihz∧∧∧∧∂ϕ如角动量L=r×p=r×(−ih∇)=−ihxyz2Lˆ2∂∂∂Lˆ2=−h∂⎛sinθ∂⎞⎟+z⎜∂x∂y∂zsinθ∂θ⎝∂θ⎠sin2θ二、本征方程已知波函数，如何求力学量？问题：用算符表示力学量，怎么得到力学量的可能取值呢？束缚态中，能量E的可能取值怎么得到的？对已知波函数计算（算符作用）通过求解：Hˆψ=Eψ能量的本征方程1、力学量如何用算符表示？VE1——ψ1E2——ψ22、如何用算符计算力学量？…………
5、（力学量的取值问题）En——ψn力学量的可能取值能量的本征值能量的本征函数力学量的测量值（能量的可能取值）∧∧对任一个力学量的算符F：如Hψ=Eψ∧∧求解该方程，得到能量本征值E及对应能nFψ=λψ,→F的本征方程量本征函数ψn。∧∧∧ψ称为F的本征函数，λ称为F的本征值。本征值λFψ=λψ对应着力学量F的可能取值。若满足方程的λ不止一个，且为分立值λ1，λ2，λ3…….对应本征函数ψ1，ψ2，ψ3…….本征值问题：——分立谱求一个力学量的可能取值及对应本征函数。若可取任意值，λαψα，连续谱2∧三、LZ的本征方程∧∂∧[例]求下列算符的本征函数和本征值。L=−ihz本征方程：Lψ(ϕ
6、)=λψ(ϕ)∂ϕziλϕ/h^dψ(ϕ)=ce,c为常数ix(1)F=−iedx有限，连续条件自动满足；单值……？^^(2)F=p+xψ(ϕ+2π)=ψ(ϕ)⇒λ=mh(m=0,±1,±2.....)xm称为磁量子数∴L=0,±h,±2h,LL=±mhz∧2四、L的本征方程∧21∂∂1∂2波函数归一化，2L=−h[(sinθ)+],22sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ2π*221=ψψdϕ=2πc,⇒c=1/2π∧∫0mm本征方程：LY(θ,ϕ)=λh2Y(θ,ϕ),本征值为：λh2令Y(θ,ϕ)=Θ(θ)⋅Φ(ϕ)从而ψ(ϕ)=1eimϕ,(m=0,±1,±2.....)21∂∂1∂2
7、2−h[(sinθ)+][Θ(θ)Φ(ϕ)]=λh[Θ(θ)Φ(ϕ)]222πsinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ2L=0,±h,±2h,LL=±mh∂∂∂Φ(ϕ)zsinθ[(sinθ)]Θ(θ)2∂θ∂θ+λsin2θ=−∂ϕ=m2Θ(θ)Φ(ϕ)2∂Φ(ϕ)2Y(θ,ϕ)=Θ(θ)⋅Φ(ϕ)∂ϕ2∂Φ(ϕ)2−=m2+mΦ(ϕ)=02Φ(ϕ)∂ϕ从而，mmimϕY(θ,ϕ)=(−1)NP(cosθ)elmlml1imϕΦ(ϕ)=e(m=0,±1,
