解三角形及应用举例.ppt

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1、二、余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：a2＝；b2＝；c2＝；b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2．余弦定理的变式：cosA＝；cosB＝；cosC＝.四、三角形中的边角关系1．内角和定理：A＋B＋C＝π.2．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3．边角不等关系：A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB；A＜B⇔a＜b⇔sinA＜sinB.●易错知识一、不讨论造成失误1．在△ABC中，已知a＝xcm，b＝2cm，B＝45°，如果

2、利用正弦定理解三角形有两解，则x的范围是________．2．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案：2＜a＜8三、不注意角的范围易出错4．判断下列三角形的形状．(1)sin2A＝sin2B；(2)cos2A＝cos2B；(3)tan2A＝tan2B；(4)sinA＝cosB.你一定会出错！不信试一试．答案：(1)A＝B或A＋B＝90°等腰或直角三角形(2)A＝B等腰三角形(3)A＝B或

3、A－B

4、＝90°等腰或钝角三角形(4)A＋B＝90°或A－B＝90°直角或钝角三角形答案：C答案：A3．在△ABC中，下列

5、等式总能成立的是()A．acosC＝ccosAB．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinBD．asinC＝csinA答案：D4．(教材P1636题改编)在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：由题设知sin(A＋B)＋sin(A－B)＝sinC，且A＋B＋C＝180°，所以sin(A－B)＝0.故A＝B.故选C.答案：C应用正、余弦定理解斜三角形问题是高考的一个热点．应用时要注意比较，依据题设条件灵活选用公式，在解题中还要注意方程思想的应用．(2

6、010·陕西，17)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：一是化边为角，二是化角为边．【例2】在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断三角形的形状．分析：利用正、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解析：方法一：由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋

7、B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.即sin2A·sinAsinB＝sin2B·sinAsinB.∵0

8、通过三角变换找出角之间的关系．④通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论．(2010·辽宁，17)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断ΔABC的形状．以三角形为载体，考查式子的大小以及判断范围问题是近年来高考的一个热点．这就需要掌握三角形内丰富的不等关系，灵活运用正、余弦定理，转化式子，最终利用函数求值域的方法探索范围问题．(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．在测量、航海、机械设计、物理中的向

9、量(如功、速度、合力等)计算中，凡能转化为以三角形为基本模型的实际问题，常可综合运用正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识进行探讨，并加以解决．规律总结：(1)本题易错点：①容易将B＋θ看作直线BC的倾斜角，导致错误求出直线BC的方程而引起最终的错误结果，或求点C坐标时出错导致解题失败；②三角公式用错而导致错误．(2)方法总结：解三角形问题具有很强的实践性，在生活中具有广泛的应用，本题中根据所求问题先在△ABC中用余弦定理求BC长度，从而确定了船速，然后再利用平面解析几何的相关知识求出直线BC的方程，进而求出点E到直线BC的距离，从而使问题获得解决．3．正

10、、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋s