解三角形及应用举例

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1、解三角形及应用举例题目第五平面向量解三角形及应用举例高考要求1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力知识点归纳1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径即（其中R表示三角形的外接圆半径）利用正弦定

2、理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍第一形式，=，第二形式，sB=利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3三角形的面积：△AB的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则①；②；③；④；⑤；⑥（其中）4三角形内切

3、圆的半径：，特别地，三角学中的射影定理：在△AB中，，…6两内角与其正弦值：在△AB中，，…7三内角与三角函数值的关系：在△AB中解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图帮助理解”题型讲解例1在ΔAB中，已知a=,b=,B=4°，求A,及边．解：由正弦定理得：sinA=,因为B=4°<90°且b<a,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,=180°-(A+B)=7°，=,(2)当A=120°时,=180°-(A+B)=1°，=思维点拨：已知两边和其中

4、一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．例2△AB的三个内角A、B、的对边分别是a、b、，如果a2=b（b+），求证：A=2B分析析：研究三角形问题一般有两种思路一是边化角，二是角化边证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，=2Rsin，代入a2=b（b+）中，得sin2A=sinB（sinB+sin）sin2A－sin2B=sinBsin－=sinBsin（A+B）（s2B－s2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），因为A、B、为三角形的

5、三内角，所以sin（A+B）≠0所以sin（A－B）=sinB所以只能有A－B=B，即A=2B点评：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解例3已知锐角△AB中，sin（A+B）=，sin（A－B）=（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高分析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，以（1）为铺垫，解决（2）（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，∴=2∴tanA=2tanB（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=∴tan（A+B）=－，即=－将

6、tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）得tanB=，∴tanA=2tanB=2+设AB边上的高为D，则AB=AD+DB=+=由AB=3得D=2+，所以AB边上的高为2+评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力例4在△AB中，a、b、分别是∠A、∠B、∠的对边长，已知a、b、成等比数列，且a2－2=a－b，求∠A的大小及的值分析：因给出的是a、b、之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理由b2=a可变形为=a，再用正弦定

7、理可求的值解法一：∵a、b、成等比数列，∴b2=a又a2－2=a－b，∴b2+2－a2=b在△AB中，由余弦定理得sA===，∴∠A=60°在△AB中，由正弦定理得sinB=，∵b2=a，∠A=60°，∴=sin60°=解法二：在△AB中，由面积公式得bsinA=asinB∵b2=a，∠A=60°，∴bsinA=b2sinB∴=sinA=评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理例在中，，，，求的值和的面积．解法一：　先解三角方程，求出角A的值．又,解法二：　由计算它的对偶关系式的值．

8、①,②　①　+　②　得　　　①　－　②　得　　从而　．以下解法略去．点评　本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起，你认为哪一种解法比较简单呢？例6设函数，其中向量（１）若f(x)=1－且x∈[－，]，求