自然对数函数.ppt

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1、Chapter4指數函數與對數函數課程內容指數函數對數函數對數函數的導數指數函數的導數經濟學上的兩個應用：相對變化率與需求彈性指數成長與衰退學習目標指數函數與對數函數的意義及其圖形如何求指數函數與對數函數的導數指數函數與對數函數在經濟學上的應用瞭解成長與衰退的指數模型指數函數本章，將介紹兩類重要函數，即指數函數(exponentialfunction)與對數函數(logarithmicfunction)，進而探討這些函數的特性，導數以及在經濟學和其他領域上的應用。定義4-1:設a>0且a1，則f(x)=ax稱為以a為底(b

2、ase)的指數函數，其中x稱為指數(exponent)。4-1指數函數描繪指數函數圖形描繪f(x)=2x之圖形。描繪之圖形。4-1指數函數指數函數之性質及圖形定理4-1:設f(x)=ax為指數函數，則(a)f(x)之定義域為(-,)。(b)f(x)之值域為(0,)。(c)f(x)之y截距為f(0)=a0=1，但無x截距。(d)f(x)為連續函數。(e)若a>1，則f(x)為遞增函數，，，其圖形如左圖所示。(f)若0

3、compoundedinterest)問題。假設我們將本金(principal)P0元存到某家銀行，銀行的存款利率(interest)為r(例如r為8%)且每年複利一次，試問n年後本利和為多少？複利問題解:設P(n)表示n年後的本利和，則顯然地一年後的本利和為4-1指數函數二年後之本利和為依此類推，我們得到n年後之本利和為複利問題銀行的利率通常以年利率為準，但是有些銀行可能依顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每年複利十二次。假設將本金P0存放於銀行，年利率為r且每年複利

4、k次，即每365/k天複利一次。在這種情況下，每次複利之利率為r/k而一年後之本利和為n年後之本利和為4-1指數函數4-1指數函數求本利和將1000元存放於銀行，年利率為6%且每年複利一次，試問5年後之本利和為多少？將1000元存放於銀行且銀行之年利率為8%。(a)每年複利一次，試問2年後之本利和為多少？(b)每半年複利一次，試問2年後之本利和為多少？(c)每季複利一次，試問2年後之本利和為多少？(d)每個月複利一次，試問2年之本利和為多少？現值在上述的論述中，我們得到其中P(n)為n年後的本利和，屬於未來的價值。現在我們逆

5、向思考，假設n年後，我們可拿回本利和P(n)，那麼P0即所謂的現值(presentvalue)。因此，現值求現值:某家銀行年利率為6%且每半年複利一次，求4年後10000元之現值為何？4-1指數函數求折價一部價值36000元之個人電腦，每年的折價率為20%，試問這部電腦3年後價值多少？4-1指數函數解:如同在複利的情況，我們可將折價率視為-0.2，因此，3年後電腦之折價為36000(1-0.2)3=36000(0.8)3=18432元。複利的次數趨近於無窮大時若銀行每年複利的次數頻率趨近於無窮大時，則n年後之本利和應該為令是

6、否存在？4-1指數函數自然指數定義4-2:稱為自然指數(naturalexponent)。定義4-3:連續複利(continuouslycompoundedinterest)將本金P0元存於年利率r的銀行裡，在連續複利之下，t年後之本利和為P(t)=P0ert。定義4-4:連續複利之現值銀行之年利率為r，連續複利，t年後P元其現值為P0=Pe-rt。4-1指數函數求連續複利之現值銀行之年利率為6%，在連續複利之下，10年後之5000元其現值為多少？連續複利求連續複利之本利和將1000元存放於年利率8%之銀行裡，連續複利，2年

7、後之本利和為多少？4-1指數函數自然指數函數定義4-5:y=ex稱為自然指數函數(naturalexponentialfunction)。4-1指數函數自然指數函數之圖形若k>0，則y=ekx之圖形如左圖所示，y=e-kx之圖形如右圖所示。4-1指數函數隨堂演練4-11.描繪y=3x與y=3-x之圖形。2.將1000元存放在年利率8%之銀行裡，求下列各種情況下，10年後之本利和。a.每年複利一次。b.每季複利一次。c.每月複利一次。d.連續複利。3.在漲跌幅7%的台北股票市場，某一支股票，每股以50元上市交易，連續漲停10個

8、交易日，求第10個交易日之收盤價。4.求極限5.描繪函數y=2+ex與y=2+e-x之圖形。4-1指數函數對數函數定義4-5:設a>0且a1。若ay=x，則y稱為以a為底(base)x之對數(logarithm)，通常表示成y=logax且y稱為以a為底之對數函數(logarithmic