对自然对数函数的多角度探究

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1、对自然对数函数的多角度探究自然界的许多增长问题符合对数函数模型，近年来的很多高考题也是由此衍生变化而来，现从一道教科书习题出发以进行多角度探究。问题：利用函数的单调性证明不等式（普通高中课程标准实验教科书数学选修２－２，人民教育出版社，第页，Ｂ组习题１）分析：从不等式的结构来看要证两方面①和②，因为的同时取自然对数就转化为，所以两者本质上是一样的，只需证．证明：构造函数，．求导数，由得，时＞０，单调递增，时，单调递减，因此当时取最大值，所以当时，即恒成立．几何解释：在同一坐标系中做出函数，，的图象，可以看出函数的图象在函数

2、的图象的下方，函数的图象在函数的上方．如图１：二．探究１，从图中可以看出两函数图象之间还有距离，于是用代替左边的有③（当且仅当时取等号）．２，用代替右边的有④（当且仅当时取等号）。得到两个加强的不等式，实际上可看成是把函数图象进行平移．用几何画板作图可以发现直线是函数和函数的图象公共的切线．如图２．３．由③式可得，⑤（当且仅当时取等号）图２４．先用代替④式中的可得⑥（当且仅当时取等号）。再用代替⑥中的有⑦（当且仅当时等号成立）．５．综合③⑦有⑧（当且仅当时等号成立）．正如数学家希尔伯特所说＂好问题是一只会下金蛋的鸡＂，它们

3、还可以衍生出许多不等式．这些不等式的证明方法都是先构造函数，然后求导数，利用函数的单调性求出极值，最值进行证明．三、背景分析１，　上述不等式的源可以是高等数学中的的麦克劳林泰勒展开式（取拉格朗日余项）　当时，有，由此出发可以得出上面的所有结论，甚至会有新的发现．２，我们还可以从重要极限导出以上结论．由此可见用替换得：且可加强为当且仅当时等号成立．同样上可以推出全部结论．四、应用　１．比较大小　例１．用二分法求方程在上的近似解，取中点，则下一个有根的区间是　　．　　分析：只要计算三个点的函数值，然后根据函数零点的存在定理进行

4、判断即可．解：令，，由⑦式可得，所以；由③式，所以，下一个有根区间是．本题利用③式和⑦式进行放缩来比较大小，很简洁、巧妙，不然。还是要麻烦一些。２．关于函数最值例２．已知函数f(x)＝，g(x)＝lnx一lna,其中a为常数，e＝2.718...，且函数y=f(x)和＝g(x)的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．（I）求常数a的值；（II）对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数xo，我们把f(xo）一g(xo）的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏

5、差都大于2.　　　分析：本题第一问很容易求出，第二问实际是一个求函数的最值问题．　　　解：（I）与坐标轴的交点为，与坐标轴的交点为又故．　　（II）　与的公共定义域为，由⑤式得由④式得．所以函数和在其公共的定义域内的所有偏差都大于２．３．求参数的范围例３．设函数，若在点处的切线斜率为．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；分析：对第二问有两种解法这里进行一下比较，可以看出用上述结论可以避免讨论．解：（Ⅰ），依题意有：；（Ⅱ）恒成立.方法一：，①当时，，，，单调递减，当，，单调递增，则，不符题意；②

6、当时，，（1）若，，，，单调递减；当，，单调递增，则，矛盾，不符题意；（2）若，若，，，，单调递减，不符题意；若，，，，单调递减，不符题意；（矛盾；）若，，，，单调递增；当，，单调递减，则，符合题意；综上，得恒成立，实数的取值范围为；　　　方法二：由于分离出参数得，令由④式，当且仅当是取最大值１．所以实数的取值范围为．这里可以看出方法二是十分简洁的．４．证明不等式例４．（１）求证：．证明：由④知对一切成立，∵，则有，∴　（２）证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）；证明：由③式ln(1＋x)≤x，当且仅当x＝0时，

7、等号成立．令x＝（k∈N*），则＞ln(1＋)，即＞ln，∴＞ln(k＋1)－lnk（k＝1，2，…，n）．将上述n个不等式依次相加，得1＋＋＋…＋＞(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[ln(n＋1)－lnn]，∴1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）．　　　　　这方面的不等式的证明在高考中是很常见的，还有多种变形情况，可以说但凡含有自然对数符号＂＂或自然对数的底数＂＂的不等式都与此有着密切的联系．　对课本精典习题，要站在一定的高度上，多角度的引导学生的探究，能使学生深刻理解所学的知识，培养学生的各种数学能力．

8、同时在解决各类数学问题时，我们也要有意识地回归教材，这样有利于学生认识到数学问题的本质，从而摆脱题海的困扰．参考文献：　方亚斌．的幂级数展开式演绎高考题．数学通讯　2012(2).作者：刘志成　通讯地址：湖北省房县第二中学　邮编：４４２１００　电话：13597861564　邮箱：1017950096＠q