暑期班第14讲.导数的应用.文科.学生版.doc

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1、第十四讲导数的应用高考要求1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．知识精讲（一）主要方法1．利用导数判断单调性：如果函数在的某个开区间内，总有（），则在这个区间上是增（减）函数．2．利用导数研究函数的极值与最值：⑴极值的定义：函数的定义域内的一点，如果对附近的所有点，都有（），则称函数在点处取极大值（极小值），记作（

2、或），并把称为函数的一个极大（极小）值点，统称极值点．⑵求函数的极值的方法：先求方程的所有实数根，再考查每个根附近，导函数的符号是否变化，符号发生变化的对应的是极值点，否则不是．⑶求函数最大（小）值的方法：先求出函数在区间内的极值点，再比较极值与区间端点处的函数值，得到函数的最值．（二）典例分析【例1】⑴已知函数，若的单调递减区间是，则的值是．⑵（2008广东卷9）设，若函数有大于零的极值点，则（）2010年·暑假高二数学·第14讲·文·学生版page10of10A．B．C．D．【解析】⑴；为二次函数，故原函数的递减区间是，所以是方程的两个实数根，由韦达定理，，

3、∴．⑵A；，由题意知有正根，故，且．【变式】已知函数，若在上是单调增函数，则的取值范围是．【解析】；函数在上是单调增函数，，分类讨论：①当，即，即时，条件成立；②当，即时，条件成立；综上，当时，条件成立，为所求．【例1】已知是上的单调增函数，则的取值范围是（）A．或　　　　B．或C．　　　　　　　D．【解析】D；，由题意知，在上恒成立，故，解得．【变式】函数在区间上单调递增，求的取值范围．【解析】分析：导函数在时为二次函数，可以考虑图象．只需，且，解得．而当且，即时，只有在时才等于零，在其它点都大于零，故此时函数仍然单调递增．故．【例2】（2006全国卷I）设为

4、实数，函数在和都是增函数，求的取值范围．【解析】，其判别式．⑴若，即，当或时，，故在为增函数．所以满足．2010年·暑假高二数学·第14讲·文·学生版page10of10⑵若，恒有，在为增函数，所以，即；⑶若，即，令，解得，．当或时，，为增函数；当时，，为减函数．依题意且．由得，解得；由得，解得，从而．综上，的取值范围为．【例1】求函数的单调区间与极值．【解析】，令，解得；令，解得或．故的单调增区间为；单调减区间为和；有下表：从而，在时取到极小值；在时取到极大值．【变式】求函数的单调区间与极小值．【解析】．当时，；当时，，∴时，恒有，令，解得．当时，，当时，．∴

5、函数在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值为．【例2】已知函数，若在上是增函数，求的取值范围．2010年·暑假高二数学·第14讲·文·学生版page10of10【解析】，若在上是增函数，只需在上，恒成立，即恒成立．在上，有，故只需．而当时，，只有在时，才有，在上总有，即函数在上单调递增．综上，时，函数，是增函数．【例1】（2005福建）已知函数的图象在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵求函数的单调区间．【解析】⑴由函数的图象在点处的切线方程为，知，，∵，∴，解得（舍弃，∵）所求函数的解析式是．⑵．令，解得．当或时，；当时，．综上，在内是减函数，在内是增

6、函数，在内是减函数．【例2】（2006江西）已知函数在与时都取得极值，若对，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】如果能求出在上的最大值，令其即可．函数的极大值与端点处的值之间的最大者，为函数在该区间的最大值．，2010年·暑假高二数学·第14讲·文·学生版page10of10由，，得，即．易知是的极大值点，1是的极小值点．将的值代入有，时，为极大值，而在端点处的值为，，则为最大值．要使（）恒成立，只需，解得或．【例1】（2005全国）已知，函数，当为何值时，取得最小值？【解析】，令，解得，的单调区间如下表所示：极大值极小值∴在=处取得极大值，在=处取得极小值，于

7、是由单调区间知在上的最小值为．只需要证明当时，，则为的最小值．当时，，即．注意到，而当时=，所以时，．由的单调性知因此时，．所以当时，取得最小值．【变式】设函数．证明：⑴的导数；⑵对所有的成立．【解析】⑴的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．⑵令，则，∴在上单调递增，∴当时，，即对所有的成立．【例2】（2006天津卷）已知函数，其中，为参数，且．2010年·暑假高二数学·第14讲·文·学生版page10of10⑴当时，判断函数是否有极值；⑵要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；【解析】⑴当时，，则在内是增函数，故无极值．⑵，令，得，由⑴，只需分下面两种

8、情况讨论．①当时，随的变