暑期班第14讲空间向量在立体几何中的应用理科学生

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1、第十四讲空间向量在立体几何中的应用高考要求1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用．知识精讲（一）知识内容1．位置向量：已知向量，在空间固定一个基点，再作向量，则点在空间的位置就被向量所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量．由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．2．给定一个定点和一个向量，为空间中任一确定的点，为直线上的点，则在

2、为过点且平行于向量的直线上①②③这三个式子都称为直线的向量参数方程．向量称为该直线的方向向量．3．设直线和的方向向量分别为和，（或与重合）；．若向量和是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线的一个方向向量为，则或在内存在两个实数，使．4．如果向量的基线与平面垂直，则向量就称为平面的法向量．设是空间任一点，为空间内任一非零向量，则满足的点表示过点且与向量垂直的平面，称为该平面的向量表示式．2010年·暑假高二数学·第14讲·理·学生版page11of115．设分别是平面的法向量，则或与重合；6．线面角：斜线和它在平面内的正射影的夹角叫做斜线和平面所成的角，

3、是斜线与这个平面内所有直线所成角中最小的角．7．二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．棱为，两个面分别为的二面角，记作．在二面角的棱上任取一点，在两半平面内分别作射线，，则叫做二面角的平面角．二面角的平面角的大小就称为二面角的大小．我们约定二面角的范围为．设，则角与二面角相等或互补．（二）典例分析【例1】⑴设，，，则使、、三点共线的条件是（）A．B．C．D．⑵设向量，，试确定的关系，使与轴垂直．【例2】已知，，，⑴求平面的一个单位法向量；⑵证明：向量与平面平行

4、．2010年·暑假高二数学·第14讲·理·学生版page11of11【变式】已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且．⑴求证：是平面的法向量；⑵若是的垂心，求证：是平面的法向量．【例2】（08浙江）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．⑴求证：平面；⑵当的长为何值时，二面角的大小为？2010年·暑假高二数学·第14讲·理·学生版page11of11【例1】如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，分别为的中点，⑴求证：，；⑵求证：平面；⑶求异面直线与所成角的余弦值；⑷求直线与平面所成角的余弦值；⑸求二面角的余弦值．【例2】如图直角梯形中，，，，平面，，以、、分别为轴、轴、轴建立直角坐标系．

5、⑴求与的夹角的大小（用反三角函数表示）；⑵设，满足平面，求①的坐标；②与平面的夹角（用反三角函数表示）；③到平面的距离．2010年·暑假高二数学·第14讲·理·学生版page11of11【变式】如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，，是的中点．⑴求异面直线与所成的角的余弦值；⑵求点到平面的距离；⑶若点是棱上一点，且，求的值．【例1】已知分别是正方体的棱和的中点，求⑴与所成角的大小；⑵与平面所成角的大小；⑶二面角的大小．2010年·暑假高二数学·第14讲·理·学生版page11of11【例1】如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、上的动点，且（）．⑴求证：；⑵当的面积取得

6、最大值时，求二面角的大小．【例2】（2009全国II）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点，平面⑴证明：．⑵设二面角为，求与平面所成角的大小．2010年·暑假高二数学·第14讲·理·学生版page11of11【例1】（2009湖南卷理）如图，在正三棱柱中，，点是的中点，点在上，且．⑴证明：平面平面；⑵求直线和平面所成角的正弦值．【例2】（2009山东）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱、、的中点．⑴证明：直线平面；⑵求二面角的余弦值．2010年·暑假高二数学·第14讲·理·学生版page11of11【例1】（2009天津）如图，在五面体中，平面，，，为的中点，．⑴求异

7、面直线与所成的角的大小；⑵证明平面平面；⑶求二面角的余弦值．【例2】（2009四川）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，．⑴求证：平面；⑵设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；⑶求二面角的大小．2010年·暑假高二数学·第14讲·理·学生版page11of11家庭作业习题1.已知，，，求方向向量为直线与平面所成角的