第4讲导数及其应用(学生)

《第4讲导数及其应用(学生)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、专题1　函数与导数、不等式第4讲导数及其应用一．瞄准高考1、导数的几何意义f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)．2、导数运算(1)求导公式:①C′=0(其中C为常数)；②(xn)′=nxn-1(n∈Q)；③(sinx)′=cosx；④(cosx)′=－sinx；⑤(lnx)′=,(logax)′=；⑥(ex)′=ex,(ax)′=axlna.(2)导数的四则运算法则:①(

2、u±v)′=u′±v′；②(uv)′=u′v＋uv′；③′=(v≠0)．3、导数的应用(1)利用导数判断函数的单调性:若f′(x)>0(f′(x)<0),则f(x)单调递增(减);若f(x)是增(减)函数,则导数f′(x)≥0(f′(x)≤0)．(2)求函数的极值:使f′(x)=0的根x0不一定是极值点,还必须检验f′(x)在x=x0左右两侧的符号,若左正右负则有极大值,左负右正则有极小值．(3)求函数的最值:连续函数在闭区间[a,b]上必有最大值、最小值,先求出使方程f′(x)=0的所有点的函数

3、值,再与端点函数值比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值．二．解析高考题型一　导数的几何意义例1(2010·湖北卷)设函数f(x)=x3－x2＋bx＋c,其中a＞0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1.(1)确定b、c的值；(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),证明:当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2)．【变式】已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1,0),且l与函数g(x)=x2＋mx＋(m<0

4、)的图象也相切．则m的值为________．题型二　利用导数探究函数的单调性例2(2009·安徽卷)已知函数f(x)=x－＋a(2－lnx)a>0,讨论f(x)的单调性．【变式】若函数g(x)=,且在区间(2,3)上不单调,则实数k的取值范围是________．题型三　利用导数求函数的极值和最值例3已知函数f(x)=ax2－2xsin2α和函数g(x)=lnx,记F(x)=f(x)＋g(x)．(1)当α=时,若f(x)在[1,2]上的最大值是f(2),求实数a的取值范围；(2)当a=1时,判断F(

5、x)在其定义域内是否有极值,并予以证明；(3)对任意的α∈,若F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值,试求实数a的取值范围．【变式】设函数f(x)=.对于任意实数x∈[－1,2],f(x)≤m恒成立,则m的最小值为________．题型四　导数的综合应用例4设函数f(x)=x3＋ax2＋bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4)．(1)求f(x)=x3＋ax2＋bx在区间(0,4]上的最大值与最小值；(2)是否存在两个不等正数s,t(s

6、2＋bx的值域也是[s,t]？若存在,求出所有这样的正数s,t；若不存在,请说明理由；【变式】第(2)问改为:设存在两个不等正数s,t(s

7、数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型,也是高考考查的重点,复习时应引起足够的重视．四．备战高考1.曲线y=x－x3在点(－1,0)处的切线与两正坐标轴所围成的图形的面积是.2.已知全集I=R,若函数f(x)=x2－3x＋2,集合M={x

8、f(x)≤0},N={x

9、f′(x)<0},则M∩(∁IN)等于__________.3.(2010·江西卷)若函数f(x)=ax4＋bx2＋c满足f′(1)=2,则f′(－1)等于.4．(2010·镇江模拟)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和

10、偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0,且g(－3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是.4.设a∈R,若函数y=ex＋ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围为_________．5.已知函数f(x)=mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为_________．6.(2010·扬州模拟)若函数f(x)=x3－a2x满足：对于任意的x1,x2∈[0,1]都有

11、f(x1)－f(x2)

12、≤1恒成立,则a的取值范围是_________