暑期班第3讲.导数的应用.文科.学生

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1、第3讲导数的应用高考要求导数的应用和积分要求层次重难点导数的概念A⑴导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景．②理解导数的几何意义．⑵导数的运算①能根据导数定义，求函数（为常数）的导数．②能利用一些基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．⑶导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多

2、项式函数一般不超过三次）．⑷生活中的优化问题．会利用导数解决某些实际问题．导数的几何意义B根据导数定义求函数的导数A导数的四则运算C导数公式表B利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）C函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题B知识精讲板块一：导数与定积分的概念与运算2010年·暑假高三数学·第3讲·文·学生版page8of8（一）知识内容1．导数的概念⑴函数的平均变化率：当时，称为函数在区间之间的平均变化率．⑵函数在一点处的导数：如果当时，趋近于一个常数，则称为函数在点的瞬时变化率，也称为函数在处

3、的导数，记作．即．此时称在处是可导的．⑶导函数：若在内每一点都可导，则称在可导，此时构成的一个新的函数称为函数的导函数．2．导数的几何意义：曲线过点的切线的斜率等于．3．常见函数的导数公式：（为常数）；；；；；（，且）；；（，且）．4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：法则1．法则2．法则3．（二）典例分析：【例1】⑴已知，则的值是（）A．B．C．D．⑵（2008全国Ⅰ）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（）2010年·暑假高三数学·第3讲·文·学生版page8of

4、8【例1】（2007浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【例2】若，则_______．【例3】（2008北京理）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，，，则；．（用数字作答）【例4】⑴已知函数，若，则_______．⑵（2007浙江）曲线在点处的切线方程是____．2010年·暑假高三数学·第3讲·文·学生版page8of8【例1】曲线过点的切线方程是_________．【例2】已知函数的图象在点处的切线方程为，又点的横坐标为，则________．【例3】已知二次函数的图象经过原点、点和点（，且

5、）．⑴求函数的解析式；⑵设（），若，，求证：．⑶在⑵的条件下，若，则过原点与曲线相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．2010年·暑假高三数学·第3讲·文·学生版page8of8板块二：导数的应用（一）知识内容⑴利用导数判断单调性：如果函数在的某个开区间内，总有（），则在这个区间上是增（减）函数．⑵利用导数研究函数的极值与最值：①极值的定义：函数的定义域内的一点，如果对附近的所有点，都有（），则称函数在点处取极大值（极小值），记作（或），并把称为函数的一个极大（极小）值点，统称极值点．②求函数的极值的方法：先求方

6、程的所有实数根，再考查每个根附近，导函数的符号是否变化，符号发生变化的对应的是极值点，否则不是．③求函数最大（小）值的方法：先求出函数在区间内的极值点，再比较极值与区间端点处的函数值，得到函数的最值．（二）典例分析：【例1】⑴若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．⑵函数的极大值为，极小值为，则的单调递减区间是．【例2】设函数，其中．⑴求证：当时，函数没有极值点；⑵当时，求的极值．⑶求证：当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．2010年·暑假高三数学·第3讲·文·学生版page8of8【例1】设函数，⑴若当时，取得极值

7、，求的值，并讨论的单调性；⑵证明：当时，没有极值．⑶若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．【例2】（2005全国）已知函数，．⑴求的单调区间和值域；⑵设，函数，．若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．2010年·暑假高三数学·第3讲·文·学生版page8of8【例1】（2007浙江）设，对任意实数，记．⑴求函数的单调区间；⑵求证：当时，对任意正实数成立．家庭作业习题1.函数的导数是（）A．B．C．D．习题2.（2007海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．C．D．习题3.若在上是增函数，则（）A．B．

8、C．D．2010年·暑假高三数学·第3讲·文·学生版page8of8习题1.（2007福建）设函数．⑴求的最小值；⑵若对恒成立，求实数的取值范围．月测备选习题1.设，则（）A．B