兰炼二中2014届高考：转化与化归思想1.ppt

《兰炼二中2014届高考：转化与化归思想1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.转化与化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而达到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为一(相对来说,对自己较为熟悉)通过对新问题的求解,达到解决问题的目的.2014年高考数学转化与化归思想问题规范问题原问题的解答解答问题转化已知理论、方法、技巧问题还原2.解题的过程就是“转化”的过程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一.3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问

2、题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是多样性.转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,这是转化的层次.而解决问题时可以多次的使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用的重复性.题型一等与不等的转化与化归【例1】若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.解方法一（看成函数的值域）∵ab=a+b+3，∴即a＞1或a＜-3,又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0.当且仅当,即a=3时取等号.又a＞3时

3、，是关于a的单调增函数.∴ab的取值范围是［9，+∞）.方法二（看成不等式的解集）∵a，b为正数，∴ab≥9.【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取值范围的重要方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.变式训练1已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m(m是正常数)，求b的取值范围.解方法一设三个实数为由a+b+c=m,得方法二因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac,又a+b+c=m,所以则a、c是关于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根,所以Δ=［-(m-b)］

4、2-4b2≥0,题型二正与反的转化与化归【例2】试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.解由题意可知，m≠0，所以设抛物线上两点关于直线y=m(x-3)对称，于是有：因为存在x1∈R使上式恒成立，即12m3+2m2+1＜0,也即(2m+1)(6m2-2m+1)＜0.因为6m2-2m+1＞0恒成立,所以2m+1＜0,所以.即当时,抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称.所以当时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.【探究拓展】在进行正与反的转化时,一定要搞清楚

5、问题的反面是什么,就本题而言,它的反面是“至少存在一条弦能被直线y=m(x-3)垂直平分”,进而将问题转化成对称问题,在解答问题时,正难则反是转化的一种有效手段.变式训练2已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明“不能同时大于”包含多种情形,不易直接证明,可用反证法证明.假设三式同时大于，∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞.这与假设矛盾，故原命题正确.题型三以换元为手段的转化与化归【例3】已知函数f(x)=1-2a-2acos

6、x-2sin2x的最小值为g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)若g(a)=,求实数a的值,并求此时f(x)的最大值.解（1）因f(x)=2cos2x-2acosx-2a-1令t=cosx,则-1≤t≤1,(2)由题意分析得:只有一种情况，所以令,其中-2＜a＜2,解得a=-1,此时,所以当cosx=1,即x=2kπ(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为5.【探究拓展】通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题,应特别注意换元后t∈[-1,1],应讨论二次函数的对称轴与区间[-1,1]的位置关系,才能快速、准确解答此

7、题.变式训练3求函数的最大值和最小值.解设t=sinx+cosxZZ题型四常量与变量的转化与化归【例4】设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(-1-ax-x2)≤f(-2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立，求实数x的取值范围.解由题意知,-1-ax-x2≤-2-a,即(1-x)a-x2+1≤0,令g(a)=(1-x)a-x2+1,所以原不等式等价于解得x∈(-∞,-2]∪[1,+∞)，所以实数x的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).【探究拓展】在解答这类问题时,往往是通过变换主元的方式，转换思维方式从而使问题的解

8、答变得简洁、明快.变式训练4已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数根.解原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，∵x=-2不是原方程的解，∴又∵a为正整数，∴即x2+2x-3≤0，解得-3≤x≤1.又∵x是整数且x≠-2,∴x=-3,-1,0