《微积分二》空间解析几何简介.ppt

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1、§8.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系三、曲面与方程二、空间任意两点间的距离四、平面区域一、空间直角坐标系空间直角坐标系由过点O的相互垂直的三个坐标轴构成三个坐标轴分别称为x轴、y轴、z轴点O称为坐标原点空间直角坐标系说明三个坐标轴要有相同的长度单位三个坐标轴要符合右手规则伸出右手，拇指与其余并拢的四指垂直，四指指向x轴的正方向，然后让四指从x轴正方向向y轴正方向紧握，则拇指的指向为z轴的正方向.在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.坐标面三个坐标面分别称为xy面,yz面和xz面.坐标面三个坐标面分别称为xy面,yz面和xz面.卦限坐

2、标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母I、II、III、IV等表示.在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.点的坐标：设M为空间一点过点M作垂直于x轴、y轴和z轴的三个平面三个平面在x轴、y轴、z轴上的交点分别为P、Q、R点M三元有序数组(a,b,c)称为点M的坐标记为M(abc)abc有序数组(abc)11特殊点的坐标:二、空间任意两点间的距离设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点则点M1与点M2之间的距离为特殊地点M(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离为证例1求证以M1(4,3

3、,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形所以

4、M2M3

5、

6、M1M3

7、即M1M2M3为等腰三角形

8、M1M3

9、2

10、M2M3

11、2因为

12、M1M2

13、2(74)2(13)2(21)214(57)2(21)2(32)26(54)2(23)2(31)26二、空间任意两点间的距离设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点则点M1与点M2之间的距离为三、曲面与方程如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0那么方程

14、F(x,y,z)0称为曲面S的方程而曲面S称为方程F(x,y,z)0的图形定义81(曲面方程)三、曲面与方程如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0那么方程F(x,y,z)0称为曲面S的方程而曲面S称为方程F(x,y,z)0的图形定义81(曲面方程)例2点在下面某个曲面上，该曲面是（）A解例3一动点M(x,y,z)与二定点M1(1,1,0)、M2(2,0,2)的距离相等求此动点M的轨迹方程依题意有

15、MM1

16、

17、MM2

18、由两点间距离公式得化简后得点M的轨迹方程为xy2z3

19、0两个基本问题：1、已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面方程；2、已知曲面方程，研究曲面的几何形状.解方程zc中不含x、y这意味着x与y可取任意值而总有zc其图形是平行于xy平面的平面例5作zc(c为常数)的图形可以证明空间中任意一个平面的方程为三元一次方程AxByCzD0其中A、B、C、D均为常数且A、B、C不全为0平面的方程解易知xy平面上任一点的坐标必有z0满足z0的点也必然在xy平面上所以xy平面的方程为z0同理yz平面的方程为x0zx平面的方程为y0例4求三个坐标平面的方程解设球面上任意一点为M(x,y,

20、z)例5求球心为点M0(x0,y0,z0)半径为R的球面方程由距离公式有那么有

21、MM0

22、R化简得球面方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2特殊地球心为原点的球面方程为x2y2z2R2球面方程练习：在球内部的点是（）球面方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2球心为原点的球面方程x2y2z2R2C解方程x2y2R2在xy平面上表示以原点为圆心半径为R的圆例6方程x2y2R2表示什么样的图形?因此这个方程所表示的曲面是由平行于z轴的直线沿xy平面上的圆x2y2R2移动而形成的圆柱面.xy平面上的圆x2

23、y2R2叫做它的准线.平行于z轴的直线L叫做它的母线由于方程不含z意味着z可取任意值只要x与y满足x2y2R2即可平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线,动直线L叫做柱面的母线.柱面上面我们看到,不含z的方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线是xy面上的圆x2y2R2.一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)0,在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面