《维傅里叶变换》PPT课件.ppt

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1、§1-4相关correlation信息处理中的重要运算一、互相关crosscorrelation定义：考虑两个复函数f(x)与g(x),定义作变量替换x+x=x’,则(2)(1)和(2)两个定义式是完全等价的.为函数f(x)与g(x)的互相关函数.(1)互相关是两个函数间存在相似性的量度.§1-4相关correlation一、互相关由(2)式易见：(3)1.当且仅当f*(-x)=f(x)[f(x)是厄米的],相关才和卷积相同.一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:f(x)要取复共轭运算时f(x)不需折叠rfg(x)=rgf*(-x)(4)由(3)式直接推论得:性质1：互相关不满足交换律

2、rfg(x)=f(x)★g(x)≠g(x)★f(x)=rgf(x)相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.互相关与卷积的关系§1-4相关correlation一、互相关性质2证明：引用施瓦兹不等式其中与一般为复函数，且仅当=k时，等号成立。令()=f(-x)，()=g()，则施瓦兹不等式为：即§1-4相关correlation二、自相关auto-correlation或:由(4)式立即可得:rff(x)=rff*(-x)复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)实函数的自相关为实偶函数当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的

3、自相关,定义为§1-4相关correlation二、自相关auto-correlation重要性质由(3)式:若f(x)是实偶函数,则:rff(x)=f(x)*f(x),其自相关就是自卷积对于非零复函数f(x),rff(0)>0为实值

4、rff(x)

5、

6、g(t)=rect(2t)*comb(t)的傅里叶级数展开系数周期t=1宽度=1/2频率f0=1采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。§1-5二维傅里叶变换指数傅里叶级数满足狄氏条件的函数g(t)具有有限周期t,可以在(-,+)展为指数傅里叶级数:展开系数零频分量,基频,谐频,频谱等概念指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。§1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换函数(满足狄氏条件)具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:展开系数Cn频率为n/t的分量n级谐波频率:n/t相邻

7、频率间隔:1/t§1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:由于t→∞分立的n级谐波频率n/t→f,f:连续的频率变量相邻频率间隔:1/t→0,写作df,求和→积分展开系数,或频率f分量的权重,G(f),相当于分立情形的Cn§1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换写成两部分对称的形式:这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和

8、极值点,没有无穷大间断点),定义函数为函数f(x,y)的傅里叶变换,记作:F(,)={f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],或f(x,y)F(,)F.T.f(x,y):原函数,F(,):像函数或频谱函数变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2px)§1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform一、定义(续)由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(,)称为傅里叶变换对记作:f(x,y)=-1{F(,)}.显然-1{f(x,y)}=f(x,y)综合可写:f(x,y)F(,)F.T.F.T.-1x(y)和()称为一对共

9、轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频域)描述同一个物理对象.§1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform一、定义(续)描述了各频率分量的相对幅值和相移.x,y,,均为实变量，F(,)一般是复函数,F(,)=A(,)ejf(,)振幅谱位相谱F(,)是f(x,y)的频谱函数§1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform广义F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.例:g(x,y)=