ch1p3 二维傅里叶变换ppt课件.ppt

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1、1.3.1傅里叶级数周期函数f(t)的三角级数展开，要满足如下条件：狄里赫利条件：函数在一个周期内有有限个极值点和第一类间断点1.3二维Fourier变换1周期函数也可以展开成指数傅里叶级数形式Cn是频率v的复函数，称为频率函数，由于周期函数中，只包含0，等频率分量，频率的取值是离散的，所以周期函数只有离散谱。没有连续谱。2是离散求和的形式,表明:一个随时间或空间变化的周期函数（信号）f(x),可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠加。各简谐波分量的频率为u，u=nu,是离散的;取值为0,±u,±2u,±3u,…;u=0为直流分量，±u为基频，其余为高次谐波分量。exp(j2π

2、ux)是其中的某一简谐波成分；系数cn或(an,bn)是该简谐波成分的权重，它是频率u的函数，称之为的傅立叶频谱(简称频谱)——FourierSpectrum.3周期为的矩形波函数，在一个周期内的解析式为451.3.2傅立叶积分(Fourierintegral)及傅立叶变换(Fouriertransform)若函数f(x,y)在整个无限xy平面上满足狄里赫利条件，且绝对可积，f(x,y)可用叠加积分表示成：6是连续求和，是叠加积分；表明:一个随时间或空间变化的非周期函数(信号)，可以看作是许多不同频率的基元简谐波信号的叠加积分。各简谐波分量的频率为u，频率的取值是连续分布的。Exp[j

3、2π(ux+vy)]是其中某一简谐波成分；F(u,v)是该简谐波成分的权重，它是频率u的函数，称之为的傅立叶频谱(FourierSpectrum)，简称频谱。7函数g(x,y)和他的傅立叶变换构成一个傅立叶变换对，表示为：函数g(x,y)的傅立叶变换函数G(u,v)的逆傅立叶变换8在电信号处理、通信中，一般是1D时间信号，经常用到一维傅立叶级数和傅立叶变换。在光学中，多数情况下研究的对象是2D或3D图像处理或成像，一般是二维或三维空间分布（可表示为二维或三维空间函数）。91.3.2(2)傅里叶变换的存在条件要保证函数存在二维傅里叶变换对，函数就应该满足狄里赫利条件和绝对可积条件，这个条

4、件是从纯数学的角度来考虑的，是数学理论研究的范畴，信息光学来说，应该从应用的观点来考虑：在应用傅里叶变换的各个领域的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备保证其傅里叶变换存在的基本条件。从应用的角度看，可以认为，傅里叶变换实际上总是存在的。在应用问题中，也会遇到一些理想化的函数，如常数函数、阶跃函数等光学领域中常用的函数，但是他们不满足保证其傅里叶变换存在的充分条件；同时他们在物理上也不能够严格实现，对这类数学难以讨论其经典意义下的傅里叶变换。但是可以借助函数序列极限概念得到这类函数的广义傅里叶变换。物理上所用到的函数总存在FT10可分离变量的傅立叶变换如果一个二维

5、函数可以分离，那么他的傅立叶变换可以表示成两个一维傅立叶变换的乘积：如果那么113.极坐标系内的二维傅立叶变换空域频域具有圆对称的函数在极坐标下描述起来更加方便r121314极坐标系下的Fouriertransformation15傅里叶-贝塞尔变换其中：也称作零阶Bessel变换16的傅立叶逆变换J0(⋅)是第一类零阶贝塞耳函数(thezeroorderBesselfunctionofthefirstkind),与ϕ无关，表明圆对称函数的FT和IFT仍为圆对称函数。这种特殊形式的傅立叶变换被称为傅立叶-贝塞尔变换17用B{}表示傅立叶-贝塞尔变换或者零阶汉克尔变换，那么有：181.3

6、.3广义傅里叶变换如果只考虑经典意义的Fourier变换，那么对一些很有用的函数，都无法确定其Fourier变换，这给Fourier变换带来了很大的局限性。Fourier变换能获得广泛的应用，很大程度上与引入广义傅里叶变换有关。所谓广义傅里叶变换是指极限意义下的傅里叶变换和脉冲函数(δ函数)的傅里叶变换。若函数可看作是某个可变换函数组成的序列极限，对序列中每个函数进行变换，组成一个新的可变函数序列，则这个新序列的极限是原函数的广义变换。191.3.3(1)极限意义下的傅里叶变换和脉冲的FT1极限意义下的傅立叶变换函数f(x)没有经典意义下的傅立叶变换，但是f(x)和一个函数序列gn(x

7、)具有如下关系：并且：则定义：20例子：考察函数sgn(x)的傅里叶变换：该函数不满足经典傅里叶变换条件！212223Sgn的傅立叶变换就是上式的极限，即：242.脉冲函数的傅里叶变换δ函数的频谱在整个频域内均匀根据傅立叶变换的定义：25利用极限的形式来求脉冲函数的广义FT已知：26常数1的傅里叶逆变换？27另外，根据δ(x)函数的广义定义,只要证明FT-1[1]，在积分中的作用相当于δ(x)函数即可。证明：设有一个函数f(x),它在x=0处连