二维傅里叶变换.ppt

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1、1傅里叶变换的存在条件要保证函数存在二维傅里叶变换对，函数就应该满足狄里赫利条件和绝对可积条件，这个条件是从纯数学的角度来考虑的，是数学理论研究的范畴，信息光学来说，应该从应用的观点来考虑：在应用傅里叶变换的各个领域的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备保证其傅里叶变换存在的基本条件。从应用的角度看，可以认为，傅里叶变换实际上总是存在的。在应用问题中，也会遇到一些理想化的函数，如常数函数、阶跃函数等光学领域中常用的函数，但是他们不满足保证其傅里叶变换存在的充分条件；同时他们在物理

2、上也不能够严格实现，对这类数学难以讨论其经典意义下的傅里叶变换。但是可以借助函数序列极限概念得到这类函数的广义傅里叶变换。物理上所用到的函数总存在FT2可分离变量的傅立叶变换如果一个二维函数可以分离，那么他的傅立叶变换可以表示成两个一维傅立叶变换的乘积：如果那么33.极坐标系内的二维傅立叶变换空域频域具有圆对称的函数在极坐标下描述起来更加方便r456极坐标系下的Fouriertransformation本节给出一些重要的FT性质，间或加以推导利用这些性质，只要知道不多的几个函数的FT，就很容易求出其他

3、函数的FT，起到化难为简的作用这些性质和定理在线性系统分析，信号处理，图像处理等领域经常使用。71.5FT的基本性质和有关定理81.5.1FT的基本性质线性性质设有a.和的FT等于FT的和————叠加性b.幅值按同样的比例缩放————均匀性c.同时具有叠加性和均匀性————线性性质性a,b为常数9对称性若则证明：10对称性的一些其他情形若f(x,y)为偶函数，则F(u,v)也是偶函数，即:若f(-x,-y)=f(x,y),则F(-u,-v)=F(u,v)。若f(x,y)为奇函数，则F(u,v)也是奇函

4、数，即：若f(-x,-y)=-f(x,y),则F(-u,-v)=-F(u,v)。11迭次FT以连续两次FT为例，二元函数f(x,y)的连续两次FT变换，得到原函数的倒立像，即：124、FT的坐标缩放性质若a,b为不等于零的实常数，若F(u,v)=F{f(x,y)},则有：证明：略光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。如：孔径夫琅和费衍射。13、FT的平移性若F{f(x,y)}=F(u,v),且x0,y0为常数，则有证明：空域中的平移造成频域中频谱的相移。光场复振幅

5、不具有平移不变性。但强度具有平移不变性。14FT的体积对应关系假设，F{f(x,y)}=F(u,v)，则有卷积定理(ConvolutionTheorem)相关定理(CorrelationTheorem)151.5.2FT的基本定理16卷积定理(convolutiontheorem)设F{f(x,y)}=F(u,v),F{g(x,y)}=G(u,v)，则有即两个函数卷积的FT等于它们的FT之积。两个函数乘积的FT等于它们的FT的卷积。若f(x,y)和g(x,y)表示两幅图像,卷积定理即表示:两图像卷积的

6、频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。17证明：同样可证：18卷积定理在FT理论及应用中非常重要：对于一个复杂函数，其FT难求，若它可表示成几个简单函数的卷积，而这些简单函数的FT易求，则可用卷积定理。如：当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的FT，乘积后，再求IFT，即可得两者之卷积。